Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью

Abstract

Рассматривается задача о взаимодействии системы осесимметричных вихревых колец с малым круговым поперечным сечением (вихревые кольца Дайсона) в бесконечной прямолинейной трубе с круговым поперечным сечением, которая заполнена идеальной несжимаемой жидкостью. В основу численно-аналитического решения положен метод дискретных особенностей, адаптированный к осесимметричным задачам. Для удовлетворения граничных условий на внутренней поверхности вводится либо последовательность мнимых вихревых нитей, либо мнимый вихревой слой. Распределение интенсивности мнимых вихревых структур определяется из условий либо равенства нулю радиальной компоненты скорости течения, либо равенствa константе значения функции тока. Для выявления наилучшего решения вводится ``функция невыполнения'' граничного условия по скорости, анализируется ее максимальное и среднее значения на внутренней поверхности трубы. Исследования показали, что наилучшей с точки зрения локального выполнения граничного условия по скорости и по продолжительности вычислений является метод решения, основанный на введении эквидистантной системы мнимых вихревых нитей одинакового радиуса с граничным условием для функции тока. Приводятся уравнения движения для системы тонких вихревых колец. Гамильтонова форма уравнений движения совпадает с уравнениями для коаксиальных вихревых колец в безграничном пространстве с гамильтонианом, учитывающим влияние границ. Показано, что эти уравнения обладают двумя инвариантами движения, которые соответствуют закону сохранения импульса движения вдоль оси трубы и закону сохранения кинетической энергии движения вихревых колец.

Розглядається задача про взаємодiю системи вiсесиметричних вихрових кiлець з малим круговим поперечним перетином (вихровi кiльця Дайсона) в нескiнченнiй прямолiнiйнiй трубi з круговим поперечним перетином, яка заповнена iдеальною нестискуваною рiдиною. Для чисельно-аналiтичного розв'язка застосовано метод дискретних особливостей, адаптований до вiсесиметричних задач. Для задоволення граничних умов на внутрiшнiй поверхнi вводиться або послiдовнiсть уявних вихрових ниток, або уявний вихровий шар. Розподiл iнтенсивностi уявних вихрових структур визначається з умов або рiвностi нулю радiальної компоненти швидкостi течiї, або рiвностi константi значення функцiї току. Для виявлення найкращого розв'язку вводиться ``функцiя невиконання'' граничної умови по швидкостi, аналiзується її максимальне та середнє значення на внутрiшнiй поверхнi труби. Дослiдження показали, що найкращим з погляду локального виконання граничної умови по швидкостi i за тривалiстю обчислень є метод розв'язку, заснований на введеннi еквiдiстантной системи уявних вихрових ниток однакового радiусу з граничними умовами для функцiї току. Приводяться рiвняння руху для системи тонких вихрових кiлець. Гамiльтонова форма рiвнянь руху спiвпадає з рiвняннями для коаксiальних вихорових кiлець в безмежному просторi з гамiльтонiаном, що враховує вплив меж. Показано, що цi рiвняння мають два iнварiанти руху, якi вiдповiдають закону збереження iмпульсу руху уздовж осi труби i закону збереження кiнетичної енергiї руху вихрових кiлець.

The problem on interaction of the system of axisymmetrical vortex rings with the small circular cross section (Dyson's vortex rings) in an unbounded rectilinear pipe with the circular cross section, which is filled by an ideal incompressible fluid, is considered. The method of discrete singularities is proposed for numeral-analytical solution, which adapted to the axisymmetrical problems. To satisfy boundary conditions on an internal surface one introduces either the sequence of imaginary vortex filaments or imaginary vortex layer. Distributing of intensity of imaginary vortex structures is determined from either equalities to the zero the radial velocity components of flow or equality to the constant the value of stream function. To detect the best solution one introduce ``failure function'' of boundary condition on velocity and analyses its maximal and overage values on an internal surface of the pipe. Researches shows that the solution based on an introduction the system of imaginary vortex filaments of identical radius with boundary condition for stream function is the best both from point of local satisfaction of boundary condition for velosity and from counting time interval. The equations of motion of the system of thin vortex rings are given. Hamiltonian form of equations of motion coincides with equation for coaxial vortex rings in unbounded space with hamiltonian, which takes into account the influence of boundaries. It is shown that these equations have two invariants of motion, which correspond to the momentum conservation law along the axis of the pipe and kinetic energy conservation law of vortex rings.