О спектре сингулярных возмущений полупериодических операторов

Abstract

Досліджено властивості заданих у комплексному сепарабельному гільбертовому просторі L^2(0,1) операторів (D^2−)^s+V(x), s що належить (1/2,∞), де D^2−=−d^2/dx^2 — диференціальний оператор з напівперіодичними граничними умовами, а 1-періодична узагальнена функція V(x) належить негативному простору Соболєва H^−sα +, α що належить [0,1]. Дано опис якісних спектральних властивостей таких операторів, знайдено многочленні асимптотичні формули для їх власних значень при s що належить (1,∞) як в самоспряженому випадку, так і в несамоспряженому.

We investigate properties of the operators (D^2−)^s+V(x), s belongs (1/2,∞), given in the complex separable Hilbert space L^2(0,1), where D^2−=−d^2/dx^2 is a differential operator subject to semiperiodic boundary conditions, and the 1-periodic distribution V(x) is in the negative Sobolev space H^−sα +, α belongs [0,1]. We describe qualitative spectral properties of the operators and find polynomial asymptotic formulae for their eigenvalues for s belongs (1,∞) in a self-adjoint case and in a non-self-adjoint one.