Узагальнення теореми Арцела–Асколі

Abstract

Нехай (T, d) – повний псевдометричний простiр, а X – сепарабельний збiжнiсний простiр. Говоримо, що послiдовнiсть (fn) у TX збiгається до f що належить T^X рiвномiрно в точцi x, якщо спiввiдношення fn(xn) → f(x) справджується для всякої збiжної до x послiдовностi (xn). Показано, що для вiдносної компактностi (fn) вiдносно поточково збiжної послiдовностi необхiдною i достатньою є така пара умов: 1) d(fn(xn), fn(x)) → 0 для будь-яких x що належать X i збiжної до x послiдовностi (xn); 2) iснує злiченна послiдовнiсно щiльна множина X0 включена в X така, що всi послiдовностi (fn(x)), x що належить X0, вiдносно компактнi.

Let (T, d) be a complete pseudometric space and X be a sequentially separable space with axiomatically defined convergence. We say that a sequence (fn) in T^X converges to f belongs T^X uniformly at a point x if the relation fn(xn) → f(x) holds for every sequence (xn) converging to x. It is shown that the following pair of conditions is necessary and sufficient for the relative compactness of (fn) with respect to the pointwise uniform convergence: 1) d(fn(xn), fn(x)) → 0 for all x belongs X and sequences (xn) converging to x; 2) there exists a countable sequentially dense set X0 is included in X such that all the sequences (fn(x)), x belongs X0, are relatively compact.