Учет симметрий при исследовании устойчивости

Abstract

Приводится теорема, которая дает возможность обнаружить неустойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений, опираясь на группу симметрий и на одно частное решение, определенное на конечном интервале независимой переменной t, принадлежащей [0, t1]. Предполагается, что решение при 1 = t1 находится за пределами ε-окрестности. Группа симметрий “тиражирует” исходное решение, создавая новые частные решения той же системы, определенные на интервалах t, принадлежащих [0, t1]. У новых решений положения при t = 0 приближаются к началу координат, а положения при t = t1 остаются за пределами ε-окрестности. В качестве приложений теоремы рассмотрены вопросы устойчивости положений равновесия механических систем, в частности, твердого тела с неподвижной точкой.