Степеневий метод розв’язування систем на власні значення

Abstract

У ході розробки обчислювальних методів матричної лінеаризації розв’язування систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь виникла необхідність у знаходженні власних значень, що задані над множиною некомутуючих матриць і матриць перестановки. У роботі розглянуто цей новий клас задач на власні значення, здійснено постановку задачі, введено означення системи задач на власні значення. Запропоновано й обґрунтовано ітераційний метод знаходження одного з розв’язків системи задач на власні значення. Цей метод є узагальнення класичного степеневого методу відшукання «старшої» пари матриці на випадок матриці з блочними елементами. Доведено збіжність методу. Проведено числові експерименти, які підтверджують достовірність одержаних результатів.

The necessity of solving eigenvalue problems defined on a set of commutated and noncommutated matrices, that arose in the course of development of linearization methods for solving polynomial nonlinear matrix equations is noticed. The paper represents new class of solving eigenvalue problems, defined on a set of matrices, states the problem, introduces the system of eigenvalue problems. An iteration method to find one of solutions of the system is proposed and proved. This scheme is the generalization of the classic power method for finding the highest pair of matrix in case of matrix with block cells. Convergence of the method is proved. Experimental results are presented. The results justify the truth of theoretical computations.

В ходе разработки вычислительных методов матричной линеаризации решения систем полиномиально-нелинейных матричных уравнений возникла необходимость нахождения собственных значений, заданных над множеством некоммутирующих и перестановочных матриц. В работе рассмотрен этот новый класс задач на собственные значения, сформулирована постановка задачи, введено определение системы задач на собственные значения. Предложен и обоснован итерационный метод нахождения одного из решений системы задач на собственные значения. Метод является обобщением классического степенного метода отыскания «старшей» пары матрицы на случай матрицы с блочными элементами. Доказана сходимость метода. Проведены численные эксперименты, подтверждающие достоверность полученных результатов.