Mathematical Modelling in Thermomechanics of Elastic Shells by Iterative-Moment Approach

Abstract

General approaches to mathematical modelling of thermomechanical processes in thin-walled elements of plate and shell type in a three-dimensional approximation are discussed. The energy balance equation, formulated in a three-dimensional statement by Lagrange approach on the extended space of parameters of local state and a corresponding choice of the function of local situation is the basis for the construction of governing equations. In this connection the mechanic energy flow, in a general case, is given by a sum of additive components in which apart of traditional characteristics (stress tensor, velocity vector) the higher order characteristics of gradientality of deformation and inertial motion and corresponding to them tensor characteristics of force action are introduced iteratively. The set of governing equations enabling to account the effects of locally-gradient and high-speed deformations was constructed for determination of the phase space of parameters of local situation. The transition to a two-dimensional analogue in governing equations is realized by the averaged characteristics of the stressed-strained state using presentation of the sought-for values by means of the expansion by a tensor base.

Обсуждаются общие подходы к математическому моделированию термомеханических процессов в тонкостенных элементах типа пластин и оболочек в трехмерном приближении. Исходным при построении определяющих соотношений является уравнение баланса энергии, сформулированное в трехмерной постановке за подходом Лагранжа на расширенном пространстве параметров локального состояния и соответственного выбора функций локальной ситуации. В этой связи поток механической энергии в общем случае представляется суммой аддитивных слагаемых, в которых наряду с традиционными характеристиками (тензором напряжений и вектором скорости) итерационным путем вводятся высшей степени характеристики градиентности деформирования и инерционного движения, а также соответствующие им тензорные характеристики силового воздействия. Для определенного на этом основании фазового пространства параметров локальной ситуации строится система определяющих соотношений, позволяющих учитывать эффекты локально-градиентного и высокоскоростного деформирования. Переход к двумерному аналогу в определяющих уравнениях реализуется посредством осредненных тензорных характеристик напряженно-деформированного состояния с использованием представления искомых величин разложением в ряды по тензорном базисе. Предлагается вариант выбора оптимального базиса разложения, позволяющий осуществлять наиболее адекватный переход от трехмерных краевых задач к их двумерным аналогам.

Обговорюються загальні підходи до математичного моделювання термомеханічних процесів у тонкостінних елементах типу пластин і оболонок у тривимірному наближенні. Вихідним для побудови визначальних співвідношень є рівняння балансу енергії, сформульоване в тривимірній постановці за підходом Лагранжа на розширеному просторі параметрів локального стану та відповідного вибору функції локальної ситуації. У зв’язку з цим потік механічної енергії в загальному випадку подається сумою адитивних складових, в яких поруч з традиційними характеристиками (тензором напружень і вектором швидкості) ітераційним шляхом вводяться вищого порядку характеристики градієнтності деформування й інерційного руху та відповідні їм тензорні характеристики силової дії. Для встановленого на цій основі фазового простору параметрів локальної ситуації будується система визначальних співвідношень, які дозволяють враховувати ефекти локально-градієнтного і високошвидкісного деформування. Перехід до двовимірного аналогу у визначальних співвідношеннях здійснюється через осереднені характеристики напружено-деформованого стану, використовуючи розвинення шуканих величин у ряди за тензорною базою. Пропонується варіант вибору оптимальної бази розкладу, яка дозволяє здійснювати найадекватніший перехід від тривимірних крайових задач до їх двовимірних аналогів.