Адаптивный алгоритм для вариационного неравенства на множестве решений задачи о равновесии

Abstract

Рассмотрены двухуровневые задачи: вариационные неравенства на множестве решений задач о равновесии. Примером таких задач является поиск нормального равновесия Нэша. Для их решения предложен итерационный алгоритм, сочетающий в себе идеи двухэтапного проксимального метода, адаптивности и итеративной регуляризации. В отличие от применяемых ранее правил выбора величины шага в предлагаемом алгоритме не проводится вычислений значений бифункции в дополнительных точках, не требуются знания информации о липшицевых константах бифункции, константах липшицевости и сильной монотонности оператора. Для монотонных бифункций липшицевого типа и сильно монотонных липшицевых операторов доказана теорема о сильной сходимости алгоритма. Показано, что предложенный алгоритм применим к монотонным двухуровневым вариационным неравенствам в гильбертовых пространствах.

Розглянуто дворівневі задачі: варіаційні нерівності на множині розв’язків задач про рівновагу. Прикладом таких задач є пошук нормальної рівноваги Неша. Для їх розв’язання запропоновано ітераційний алгоритм, що поєднує у собі ідеї двоетапного проксимального методу, адаптивності та ітеративної регуляризації. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в запропонованому алгоритмі не проводиться обчислень значень біфункції в додаткових точках та не потрібно знання інформації про величину ліпшицевих констант біфункції, констант ліпшицевості та сильної монотонності оператора. Для монотонних біфункцій ліпшицевого типу та сильно монотонних ліпшицевих операторів доведено теорему про сильну збіжність алгоритму. Показано, що запропонований алгоритм можна застосувати до монотонних дворівневих варіаційних нерівностей в гільбертових просторах.

In this paper, we consider bilevel problems: variational inequality problems over the set of solutions of the equilibrium problem. An example of such a problem is finding a normal Nash equilibrium. To solve these problems, an iterative algorithm is proposed that combines the ideas of a two-stage proximal method, adaptability, and iterative regularization. In contrast to the previously used rules for choosing the step size, the proposed algorithm does not calculate bifunction values at additional points and does not require knowledge of information on bifunction’s Lipschitz constants and operator’s Lipschitz and strong monotonicity constants. For monotone bifunctions of Lipschitz type and strongly monotone Lipschitz operators, the theorem on strong convergence of sequences generated by the algorithm is proved. It is shown that the proposed algorithm is applicable to monotone bilevel variational inequalities in Hilbert spaces.