Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка

Abstract

Рассмотрен один из подходов к представлению в аналитическом виде условий непересечения и включения неориентированных выпуклых 2D-объектов, границами которых являются кривые второго порядка канонического вида. Приведены условия взаимного непересечения пары эллипсов, эллипса и области, ограниченной параболой, а также условия включения круга в эллипс, эллипса в эллипс, эллипса в область, ограниченную параболой. Аналитические условия представлены на основании уравнений границ соответствующих объектов (областей) и приведены к виду системы неравенств, зависящих от параметров размещения объектов и параметра, который является решением некоторого уравнения одной переменной. На основании полученных систем неравенств построены соответствующие Ф-функции.

Розглянуто один з підходів до побудови в аналітичному вигляді умов неперетину і включення неорієнтованих опуклих 2D-об’єктів, границями яких є криві другого порядку канонічного виду. Наведено умови взаємного неперетину пари еліпсів; еліпса і області, обмеженої параболою; умови включення кола в еліпс, еліпса в еліпс, еліпса в область, обмежену параболою. Аналітичні умови наведено відповідно до рівнянь границь відповідних об’єктів (областей) і приведено до вигляду системи нерівностей, що залежать від параметрів розміщення об’єктів і параметра, який є розв’язком деякого рівняння однієї змінної. З урахуванням отриманих систем нерівностей побудовано відповідні Φ-функції.

An approach to constructing analytical conditions of non-intersection and inclusion of non-oriented convex 2D objects is considered, the boundaries of objects being second-order curves in the canonical form. In particular, the conditions of mutual non-intersection of a pair of ellipses; an ellipse and an area bounded by a parabola; conditions of containment of a circle in an ellipse, an ellipse in an ellipse, an ellipse in a region bounded by a parabola are constructed. The analytical conditions are constructed on the basis of the equations of the boundaries of the corresponding objects (areas) and then are reduced to the form of a system of inequalities depending on the placement parameters of the objects and the parameter, which is the solution of a certain equation of one variable. Based on the obtained systems of inequalities, the corresponding Φ-functions are constructed