Суперекспоненціальна швидкість збіжності методу перетворення Келі для абстрактного диференціального рівняння

Abstract

Розглянуто крайову задачу для абстрактного диференціального рівняння 2-го порядку з операторним коефіцієнтом у гільбертовому просторі. За допомогою перетворення Келі операторного коефіцієнта A та поліномів типу Майкснера від аргументу x розв'язок задачі зображено у вигляді ряду. За наближений розв'язок узято скінченну суму N доданків цього ряду. Доведено вагові оцінки точності цієї апроксимації залежно не тільки від параметра дискретизації N, але й від відстані аргументу x до межових точок проміжку. Запропонований алгоритм має суперекспоненціальну швидкість збіжності.

A boundary-value problem (BVP) for an abstract differential equation with an operator coefficient in the Hilbert space is investigated. The exact solution is presented as an infinite series by means of the Cayley transform of the operator coefficient A and the Meixner type polynomials in the independent variable x. The approximate solution is given by the truncated sum of that series with N summands. The error estimates (with the weight function) depending not only on the discretization parameter N but also on the distance of the point x to the boundary of the interval are proven. They demonstrate that our algorithm has the super-exponential rate of convergence.