О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 1

Abstract

В настоящем исследовании выбраны гармонический и колоколообразный профили с целью исследовать именно эволюцию колоколообразной волны. Гармоническая волна здесь играет вспомогательную роль, хотя и исследована численно для новых материалов. Целью объединения анализа для двух профилей является сравнение сценариев гармонической и одиночной волн, профили которых симметричны. Основным новшеством в анализе одиночной волны является учет третьего приближения.

В межах моделі Мурнагана вивчено теоретично та чисельно нелінійну плоску поздовжню пружну хвилю зміщення для двох форм початкового профілю - гармонічного і дзвіноподібного. Основна новизна полягає в тому, що еволюція хвиль аналізується наближеними методами з урахуванням перших трьох апроксимацій. Аналіз гармонічної хвилі розглядається тільки для порівняння з новими результатами для дзвіноподібної хвилі. Показано деякі суттєві відмінності між еволюцією хвиль. По-перше, симетричні початково профілі трансформуються внаслідок еволюції в спотворенні по-різному: гармонічний профіль симетрично і дзвіноподібний профіль асиметрично. По-друге, третя апроксимація вводить четверту гармоніку для гармонічної хвилі, коли ця хвиля аналізувалася методом послідовних наближень, тоді як дзвіноподібна хвиля характеризується у третьому наближенні по-іншому в рамках аналізу методом обмежень на градієнт зміщення. На відносно довгих відстанях від початку поширення хвилі одногорба дзвіноподібна хвиля перетворюється в двогорбу. Ці горби прилягають один до одного і зменшують в два рази їх підошви. Третє наближення дозволяє спостерегти нові хвильові ефекти: несиметрію лівого і правого горбів відносно їх піків і несиметрію горбів щодо один до одного - опущення лівого горба і підйом правого. Результати дослідження коментуються.

The nonlinear plane longitudinal elastic wave of displacement is studied theoretically and numerically within the framework of the Murnaghan model for two forms of initial profile – harmonic and bell-shaped ones. The basic novelty consists in that the evolution of waves is analyzed by the approximate methods by taking into account the first three approximations. The analysis of the harmonic wave is considered for the only comparison with the new results for the bell-shaped wave. Some essential distinctions between the evolution of waves are shown. First, the symmetric initial profiles are transformed owing to evolution into the distorted ones in a different way: symmetrically for harmonic profile and asymmetrically for the bell-shaped profile. Second, the third approximation introduced the fourth harmonic for a harmonic wave when this wave being analyzed by the method of successive approximations, whereas the bell-shaped wave is characterized in the third approximation in a very different way when being analyzed by the method of restrictions on displacement gradient. On the sufficiently long distances of wave propagation, the one-hump bell-shaped wave is transformed into the two-hump one. These humps adjoint one to another ad decrease in twice their bottoms. The third approximation permits to observe the new wave effects: non-symmetry of the left and right humps relative to their picks and nonsymmetry of the humps relative to each other – sinking of the left hump and elevation of the right one. The findings are commented on.