Алгоритмизация вычислений констант Колмогорова–Никольского величин приближения сопряженных дифференцируемых функций обобщенными интегралами Пуассона

Abstract

В данной работе рассмотрены аппроксимативные свойства обобщенных интегралов Пуассона на классах сопряженных дифференцируемых функций. В результате исследований получены полные асимптотические равенства, которые позволяют выписывать все константы Колмогорова–Никольского при соответствующих степенях малости 1-ρ, ρ → 1-0. Из полученной выше теоремы в частных случаях, а именно при s=0, имеем ранее известный результат для интеграла Абеля–Пуассона, но уже в более удобной для компьютерной обработки форме, и при s = 1/2, q = 1 — соответственно результат для бигармонического интеграла Пуассона. В настоящей работе рассмотрен более общий случай одного из линейных методов суммирования рядов Фурье, так называемого обобщенного интеграла Пуассона, изучение аппроксимативных свойств которого позволяет более эффективно использовать задачи теории приближений в различных областях прикладной математики.

У прикладній математиці при розв’язуванні низки задач доцільно використовувати методи і підходи теорії наближення функцій. Одним із найважливіших типів задач як теорії наближення функцій, так і прикладної математики є так звані екстремальні задачі Колмогорова–Нікольського. Суть задачі Колмогорова–Нікольського в прикладній математиці полягає в наближенні одних математичних об’єктів іншим, як правило, більш простої природи, властивості яких вже відомі, а необхідні характеристики обчислюються тим чи іншим способом. При цьому важливу роль відіграє оцінка похибки отриманого наближення, яка напряму залежить від точності розв’язку задачі Колмогорова–Нікольського. Ця точність, у свою чергу, буде залежати від кількості доданків у повних асимптотичних розкладах (за степенями (1-ρ), ρ → 1-0, у даній статті). Сталі, які стоять перед відповідними степенями (1-ρ), ρ → 1-0, у повних асимптотичних розкладах у прикладній математиці прийнято називати константами Колмогорова–Нікольського. Очевидно, що чим більше відомо цих констант, тим точніше можна отримати степінь похибки при наближенні одних математичних об’єктів іншими. Розроблений алгоритм обчислень констант Колмогорова–Нікольського будь-якого високого порядку малості при наближенні спряжених диференційовних функцій є їх узагальненими інтегралами Пуассона. Отриманий результат дозволить значно розширити межі застосування задач теорії наближення в прикладній математиці, а саме, при побудові чисельних алгоритмів, при розгляді задач оптимального керування, у математичному моделюванні складних технічних і екологічних систем та ін.

In applied mathematics in solving a number of problems, it is advisable to use the methods and approaches of approximation theory. One of the most important types of problems, of both the theory of approximation of functions and applied mathematics, is the so-called extremal problems of Kolmogorov–Nikolʼskii. The essence of the Kolmogorov–Nikolʼskii problem in applied mathematics is the approximation of some mathematical objects by others, usually of a simpler nature, whose properties are already known, and the necessary characteristics are calculated in one way or another. In this case, an important role is played by the error estimate of the obtained approximation, which will directly depend on the accuracy of solving the Kolmogorov–Nikolʼskii problem. And this accuracy will directly depend on the number of terms in complete asymptotic expansions (by powers (1-ρ), ρ → 1-0, in this article). The constants that face the corresponding degrees (1-ρ), ρ → 1-0, in complete asymptotic expansions in applied mathematics are called the Kolmogorov–Nikolskii constants. Obviously, the more we know these Kolmogorov–Nikolskii constants, the more accurately we can get the degree of error when some mathematical objects are approximated by others. An algorithm has been developed for computing the Kolmogorov–Nikolskii constants of arbitrarily high order of smallness when approximating conjugate differentiable functions by their generalized Poisson integrals. The result obtained in this paper will allow us to expand significantly the boundaries of the application of problems of the theory of approximation in applied mathematics, namely, when constructing numerical algorithms, when considering optimal control problems, in mathematical modeling of complex technical and ecological systems, etc.