Марковские модели систем обслуживания–запасания с разнотипными повторными заявками

Abstract

В работе предложены марковские модели системы управления запасами с мгновенным обслуживанием и двумя типами заявок. Заявки высокого приоритета получают запас и покидают систему, если в момент их поступления уровень запасов выше нуля; иначе они покидают систему без получения запаса. Заявки низкого приоритета согласно схеме Бернулли могут либо уходить в орбиту, либо покидать систему, если в моменты их поступления уровень запасов системы ниже определенного критического уровня. При этом, если в моменты поступления заявки с орбиты уровень запасов опять ниже критического уровня, то повторная заявка также согласно схеме Бернулли либо окончательно уходит с орбиты, либо остается там для повторения.

Вивчається модель системи обслуговування–запасання із двома типами вимог і миттєвим обслуговуванням. Вважається, якщо в момент надходження вимоги високого пріоритету рівень запасів більший від нуля, то вона одержує запас і покидає систему. Вимога низького пріоритету отримує запас, якщо в момент її надходження рівень запасів є більшим певного критичного рівня; в іншому випадку ця вимога згідно зі схемою Бернуллі або надходить в орбіту, або не отримує запас і залишає систему. Час перебування вимог у необмеженій орбіті є випадковою величиною із показниковою функцією розподілу. Якщо в момент надходження повторної вимоги рівень запасів більший критичного, то вона миттєво отримує необхідний запас і покидає орбіту; інакше вона згідно зі схемою Бернуллі або покидає орбіту, або залишається на орбіті. Розглядається три політики поповнення запасів: політика двох рівнів, політика змінного розміру поповнення і політика, згідно з якою замовлення на поставку запасів роблять після кожного факту видачі запасів. Основними характеристиками системи є середній рівень запасів, середня інтенсивність замовлень, ймовірності відмови в обслуговуванні вимог кожного типу при надходженні в систему, середня кількість вимог в орбіті, середні інтенсивності успішного та невдалого повторення запитів з орбіти. Для математичного аналізу системи, яка вивчається, побудовано відповідний двовимірний ланцюг Маркова та подано алгоритм пошуку його твірної матриці. Знайдено сумісний розподіл рівня запасів системи та кількість вимог в орбіті, а також запропоновано формули для обчислення усереднених характеристик моделей, які вивчались.

In this paper, models of queuing-inventory systems with two kinds of retrial customers and instantaneous service time are considered. It is assumed that if at the time of arrival of a high-priority customer the inventory level is greater than zero then it receives an inventory and leaves the system. Customers of low priority receive inventory if at the time of its arrival the inventory level is above a certain critical level; otherwise, this customer, according to the Bernoulli trials, either goes into orbit or does not receive an inventory and leaves the system. The sojourn time of customers in an infinite orbit is a random variable with an exponential distribution function. If at the time of receipt of the repeated customer the inventory level is more than a critical level, then it instantly receives the required inventory and leaves the orbit; otherwise, according to the Bernoulli scheme, it either leaves the orbit or remains in orbit. Three replenishment policies are considered — a two-level policy, a variable order size policy, and a policy in which an order is made to supply inventory after each inventory release act. The main characteristics of the system are the average inventory level, the average intensity of orders, the probability of failure in servicing customers of each type when entering the system, the average number of customers in orbit, the average intensities of successful and unsuccessful repetition of customers from orbit. For the mathematical analysis of the system under study, a corresponding two-dimensional Markov chain was constructed and an algorithm was given for finding its generating matrix. Joint distribution of the system's inventory level and the number of customers in orbit as well as formulas for calculating the averaged characteristics of the studied models are developed.