Gravity-capillary waves in layered fluid

Abstract

In this work we analyse stability of a gravity wave generated on the separation surface of two immiscible liquids inside a moving container and perturbed by a capillary wave. Such a phenomenon is experimentally observed when the amplitude and the frequency of the motion imposed to the container attain certain values. Evolution of the system is described by the variational principle. We assume that motion of the system is decomposed into two modes: the gravity mode and the capillary mode. With suitable scaling assumptions it is possible to show that the evolution of the gravity mode is determined by the forcing motion, while the capillary mode is excited by the nonlinear interactions between the capillary and gravity modes. At last, an analytical dispersion relation is obtained for the pulsation of the capillary mode. This relation is a function of several quantities, all depending on the capillary wavenumber and the characteristics of the exciting motion.

Аналiзується стiйкiсть гравiтацiйних хвиль, що утворюються на поверхнi подiлу двох рiдин, якi не змiшуються, в рухомому резервуарi та збуреної капiлярної хвилi. Таке явище експериментально спостерiгається, коли амплiтуда i частота руху резервуара досягають деяких значень. Еволюцiя системи описується на основi варiацiйного принципу. Ми припускаємо, що рух системи розкладається на двi форми: гравiтацiйну та капiлярну. За допомогою належного масштабування можна показати, що еволюцiя гравiтацiйної форми руху визначається вимушеним рухом, а капiлярна форма руху збурюється за рахунок нелiнiйної взаємодiї мiж капiлярною та гравiтацiйною формами руху. Одержано в аналiтичному виглядi дисперсiйну залежнiсть для пульсацiй капiлярної форми руху. Таке спiввiдношення є функцiєю кiлькох величин, що залежать вiд капiлярних хвильових чисел i характеристик збурення руху системи.