Determination of the boundaries between the domains of stability and instability for the Hill's equation

Abstract

Stability problem for the Hill’s equation containing two parameters is analyzed with computer algebra system M athematica. The characteristic constant is found as a series expansion in powers of a small parameter e. It has been shown that the domains of instability are located only between the curves a = a(e) on the a−e plane crossing the e = 0 axis at the points a = (2k−1)²/4, k = 1, 2, 3 . . . . The corresponding curves are found as power series in e with accuracy O(e⁶ ).

Проблема стабiльностi для рiвняння Хiлла, яке мiстить два параметри, вивчається за допомогою комп’ютерної системи M athematica. Знайдено характеристичну константу в термiнах ряду вiдносно степенiв малого параметра e. Показано, що областi стабiльностi i нестабiльностi знаходяться тiльки на площинi a − e мiж кривими a = a(e), що перетинають вiсь e = 0 в точках a = (2k − 1)²/4, k = 1, 2, 3 . . . . Знайдено вiдповiднi кривi як ряди за степенями e з точнiстю O(e⁶).