Дослідження зміни концентрації напружень з часом у в’язкопружному ортотропному тілі

Abstract

Викладено процедуру розв’язання плоскої задачі лінійної теорії в’язкопружності методом скінченних елементів. На основі принципу віртуальної роботи та припущення про сталість швидкості деформацій на малих проміжках часу записано матричну форму рівнянь рівноваги скінченно-елементної апроксимації тіла. Процедуру розв’язання описано для визначальних співвідношень в інтегральній формі Больцмана—Вольтерра. Цей інтеграл перетворюється до інкрементної форми на часовій сітці, на кожному інтервалі якої задача розв’язується методом скінченних елементів з невідомими приростами переміщень. Числову процедуру побудовано за нерівномірного розбиття інтервалу часу, на якому проводиться дослідження. В цьому випадку матриця жорсткості потребує переобчислення на кожному часовому кроці. Функції релаксації модулів в’язкопружного ортотропного матеріалу описано у формі ряду Проні—Діріхле. Представлено розв’язок задачі про визначення зміни з часом концентрації напружень в тілі з круглим отвором у в’язкопружній ортотропній пластині. Для побудови числового розв’язку три модулі ортотропного матеріалу записано з допомогою однієї експоненти з тим самим часом релаксації. Для цих вихідних даних побудовано аналітичний вираз для в’язкопружних компонент матриці жорсткості ортотропної пластини в умовах плоского напруженого стану. Числові приклади представлено для декількох співвідношень радіуса отвору та розміру пластини. Ці результати зіставлені з розв’язком, отриманим для нескінченної пластини шляхом оберненого перетворення числовим методом відомого аналітичного розв’язку пружної задачі.

The procedure for solving the plane problem of the linear theory of viscoelasticity by the finite element method is described. Based on the virtual work principle and the assumption of the constancy of the strain rate at small intervals of time, the matrix form of the equilibrium equations of the finite-element approximation of a body is written. The solution procedure is described for the constitutive relations in the Boltzmann—Volterra integral form. This integral is transformed into an incremental form on a time mesh, at each interval of which the problem is solved by the finite element method with unknown increments of displacements. The numerical procedure is constructed by ununiformly dividing the time interval, at which the study is conducted. In this case, the stiffness matrix requires recalculation at each time step. The relaxation functions of the moduli of a viscoelastic orthotropic material are described in the form of the Proni—Dirichlet series. The solution to the problem of determining the change over time of the stress concentration in a body with a round hole in a viscoelastic orthotropic plate is presented. To construct a numerical solution, the three moduli of orthotropic material were written using one exponent with the same relaxation time. For these initial data, an analytic expression for the viscoelastic components of the stiffness matrix of an orthotropic plate under plain stress conditions is constructed. Numerical examples are presented for several ratios of the hole radius to the size of the plate. These results are compared with the solution obtained for an infinite plate by inverse transformation by a numerical method of the well-known analytic elastic solution.