Logarithmic capacity and Riemann and Hilbert problems for generalized analytic functions

Abstract

The study of the Dirichlet problem with arbitrary measurable boundary data for harmonic functions in the unit disk is due to the famous Luzin dissertation. Later on, the known monograph of Vekua was devoted to boundary-value problems for generalized analytic functions, but only with Hölder continuous boundary data. The present paper contains theorems on the existence of nonclassical solutions of Riemann and Hilbert problems for generalized analy tic functions with sources whose boundary data are measurable with respect to the logarithmic capacity. Our ap proach is based on the geometric interpretation of boundary values in comparison with the classical operator approach in PDE. On this basis, one can derive the corresponding existence theorems for the Poincaré problem on directional derivatives to the Poisson equations and, in particular, for the Neumann problem with arbitrary boundary data that are measurable with respect to the logarithmic capacity. These results can be also applied to semilinear equations of mathematical physics in anisotropic inhomogeneous media.

Вивчення задачі Діріхле з довільними вимірюваними граничними даними для гармонічних функцій в одиничному крузі має витоки з відомої дисертації Лузіна. Пізніше Векуа дослідив узагальнені аналітичні функції, але тільки для граничних даних, неперервних за Гельдером. Ця робота містить теореми існування некласичних розв'язків задач Рімана і Гільберта для узагальнених аналітичних функцій з джерелом, граничні дані яких є вимірюваними відносно логарифмічної ємності. Наш підхід заснований на геометричній інтерпретації граничних значень на відміну від класичного операторного підходу в теорії рівнянь з частинними похідними. На цій основі можна отримати відповідні теореми існування задачі Пуанкаре для похідної за напрямком для рівняння Пуассона і, зокрема, для задачі Неймана з довільними граничними даними, вимірюваними відносно логарифмічної ємності. Ці результати можуть бути застосовані до напівлінійних рівнянь математичної фізики в анізотропних і неоднорідних середовищах.