Властивість локалізації для згорток узагальнених періодичних функцій

Abstract

Відомий принцип локалізації Рімана для рядів Фур'є сумовних функцій переформульовано для згорток узагальнених періодичних функцій із сім'ями функцій, які, як правило, збігаються з ядрами певних лінійних методів підсумовування рядів Фур'є (наприклад, методів підсумовування типу Гаусса—Вейєрштрасса). Сім'ї функцій, для яких виконується принцип локалізації Рімана, називаємо сім'ями функцій класу L(X). Знайдені необхідні й достатні умови належності сім'ї функцій до класу L(X) у випадку, коли X — досить широкий неквазіаналітичний клас періодичних функцій або X — клас аналітичних періодичних функцій (зокрема, X = G{β} при β>1 і X=G{β}, якщо 0<β≤1). Обґрунтовано також означення “аналітичний функціонал рівний нулю на відкритій множині”; наведено конкретний приклад аналітичного функціонала, який рівний нулю на (a,b)⊂[0,2π]. Використання одержаного результату в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними дає можливість знайти нову властивість (властивість локалізації, властивість локального покращення збіжності) розв'язків багатьох задач математичної фізики, оскільки такі розв'язки часто зображуються у вигляді згортки деякої сім'ї основних функцій з простору X з функцією F, заданою на межі області, при цьому F може бути узагальненою функцією з простору X′.

The well-known Riemann localization principle for the Fourier series of summable functions is reformulated for the convolution of generalized periodic functions with families of functions, which usually coincide with kernels of certain linear methods of summation of Fourier series (for example, summation methods such as the Gauss—Weierstrass one). We call the families of functions, for which the Riemann localization holds, the families of functions of a class L(X). The necessary and sufficient conditions of belonging the family of functions to the class L(X) are found in the case where X is a sufficiently broad non-quasi-analytic class of periodic functions or X is a class of analytic periodic functions (in particular, X = G{β} for β > 1 and X = G{β} if 0 < β ≤ 1). The definition of “analytic functional equal to zero on an open set” is also substantiated; a specific example of analytic functional is given, which is 0 on (a, b)⊂[0, 2π]. The use of the obtained result in partial differential equation theory allows us to obtain a new property (localization property, the property of local convergence improvement) of many problems of mathematical physics, since such solutions are often depicted as a convolution of some family of basic functions from the space X with a function F defined at the boundary of the domain, F may be a generalized function from a space X′.

Известный принцип локализации Римана для рядов Фурье суммируемых функций переформулирован для сверток обобщенных периодических функций с семьями функций, которые, как правило, совпадают с ядрами определенных линейных методов суммирования рядов Фурье (например, методов суммирования типа Гаусса—Вейерштрасса). Семьи функций, для которых выполняется принцип локализации Римана, называем семьями функций класса L(X). Найдены необходимые и достаточные условия принадлежности семьи функций к классу L(X) в случае, когда X — достаточно широкий неквазианалитический класс периодических функций или X — класс аналитических периодических функций (в частности, X =G{β} при β >1 и X =G{β}, если 0 < β ≤ 1). Обоснованно также определение “аналитический функционал равен нулю на открытом множестве”; приведен конкретный пример аналитического функционала, который равен нулю на (a, b)⊂[0, 2π]. Использование полученного результата в теории дифференциальных уравнений в частных производных позволяет найти новое свойство (свойство локализации, свойство локального улучшения сходимости) решений многих задач математической физики, поскольку такие решения часто изображаются в виде свертки некоторой семьи основных функций из пространства X с функцией F, заданной на границе области, при этом F может быть обобщенной функцией из пространства X′.