Артиновы кольца с нильпотентной присоединенной группой

Abstract

Нехай R — артинове кільце, необов'язково з одиницею, Z(R) — його центр i R⁰ — група оборотних елементів кільця R відносно операції a о b = a + b + ab. Доводиться, що приєднана група R⁰ нільпотентна та множина Z(R)+R⁰ породжує R як кільце тоді і тільки тоді, коли R є прямою сумою скінченного числа ідеалів, кожен з яких є або нільпотентним кільцем, або локальним кільцем з нільпотентною мультиплікативною групою.

Let R be an Artinian ring (not necessarily with unit element), let Z(R) be its center, and let R⁰ be the group of invertible elements of the ring R with respect to the operation a о b = a + b + ab. We prove that the adjoint group R⁰ is nilpotent and the set Z(R)+R⁰ generates R as a ring if and only if R is the direct sum of finitely many ideals each of which is either a nilpotent ring or a local ring with nilpotent multiplicative group.