Сингулярная задача Коши для уравнения течения тонких вязких пленок с нелинейной конвекцией

Abstract

Для багаговимiрних рівнянь течії тонких капілярних плівок з нєлінійною диФузією та конвекцією доведено існування сильного невід'ємного узагальненого розв'язку задачі Коші з початковою функцією — невід'ємною мірою Радона, яка має компактний носій. Знайдено точну глобальну за часом оцінку зверху для швидкості розповсюдження носія цього розв'язку. Розглянуто окремо випадки, коли виродження рівняння відповідає умовам „сильного" та „слабкого" проковзування. Зокрема, у випадку „слабкого" проковзування отримано точну оцінку згасання L²-норми градієнта розв'язку, яка, як відомо, не має місця у випадку початкових функцій з некомпактними носіями.

For multidimensional equations of flow of thin capillary films with nonlinear diffusion and convection, we prove the existence of a strong nonnegative generalized solution of the Cauchy problem with initial function in the form of a nonnegative Radon measure with compact support. We determine the exact upper estimate (global in time) for the rate of propagation of the support of this solution. The cases where the degeneracy of the equation corresponds to the conditions of “strong” and “weak” slip are analyzed separately. In particular, in the case of “ weak” slip, we establish the exact estimate of decrease in the L²-norm of the gradient of solution. It is well known that this estimate is not true for the initial functions with noncompact supports.