Симетрії Лі, Q-умовні симетрії та точні розв'язки системи нелінійних рівнянь дифузії-конвекції

Abstract

Наведено вичерпний опис симетрій Лі нелінійної системи двох рівнянь дифузії-конвекції типу двох зачеплених рівнянь Бюргерса, яка містить дві довільні функції. Знайдено нелінійну систему дифузії-конвекції з унікальними симетрійними властивостями, яка одночасно інваріантна відносно узагальненої алгебри Ґалілея та відносно операторів Q-умовної симетрії з кубічними нелінійностями відносно залежних змінних. Для систем еволюційних рівнянь такі оператори знайдено вперше. Для знайденої системи побудовано систему ліївських та неліївських анзаців; також отримано точні розв'язки, які можна застосувати для розв'язання відповідних крайових задач.

A complete description of Lie symmetries is obtained for a class of nonlinear diffusion-convection systems containing two Burgers-type equations with two arbitrary functions. A nonlinear diffusion-convection system with unique symmetry properties that is simultaneously invariant with respect to the generalized Galilei algebra and the operators of Q-conditional symmetries with cubic nonlinearities relative to dependent variables is found. For systems of evolution equations, operators of this sort are found for the first time. For the nonlinear system obtained, a system of Lie and non-Lie ansätze is constructed. Exact solutions, which can be used in solving relevant boundary-value problems, are also found.