Метод Ньютона—Канторовича в теории автономных нетеровых краевых задач в случае параметрического резонанса

Abstract

Найдены конструктивные условия разрешимости и схема построения решений нелинейной автономной краевой задачи в случае параметрического резонанса. Построена сходящаяся итерационная схема для нахождения приближений к решению нелинейной автономной нетеровой краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в случае параметрического резонанса. В качестве примера применения построенной итерационной схемы приведены приближения к решению периодической краевой задачи для автономного уравнения типа Дюффинга с параметрическим возмущением. Для контроля точности найденных приближений к решению периодической краевой задачи для автономного уравнения типа Дюффинга использованы невязки в исходном уравнении.

Знайдено конструктивні умови розв'язності та схему побудови розв'язків нелінійної автономної крайової задачі у випадку параметричного резонансу. Побудовано збіжну ітераційну схему для знаходження наближень до розв'язків нелінійної автономної нетерової крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у випадку параметричного резонансу. Як приклад застосування побудованої ітераційної схеми, знайдені наближення до розв'язків періодичної крайової задачі для автономного рівняння типу Дюффінга з параметричним збуренням. Задля контролю точності знайдених наближень до розв'язків періодичної крайової задачі для автономного рівняння типу Дюффінга застосовано нев'язки у вихідному рівнянні.

We have found constructive conditions of solvability and a convergent iterative scheme for constructive solutions of a nonlinear autonomous Noetherian boundary-value problem in the case of parametric resonance. As an example of applying the scheme, some approximations to the solution of a periodic boundary-value problem for an autonomous equation of the Duffing type with a parametric perturbation are determined. To control the accuracy of the approximations, residuals in the original equation are applied.