Применение метода сплайн-коллокации для решения задач статики и динамики конструктивно неоднородных цилиндрических оболочек

Abstract

Метод сплайн-коллокации, в отличие от использования двойных тригонометрических рядов для аппроксимации перемещений точек срединной поверхности оболочки, позволяет существенно расширить класс решаемых прикладных задач, а в некоторых случаях получить более точные численные результаты. Например, уменьшение шага сетки по длине оболочки в местах ее подкрепления кольцевыми ребрами или расположения сосредоточенных масс приводит к уменьшению порядка разрешающей системы алгебраических уравнений при той же точности получаемых результатов. Возможность изменять граничные условия на поперечных кромках оболочки позволяет оценить их влияние на характеристики напряженно-деформированного состояния. Отметим, что ранее метод сплайн-коллокации преимущественно использовался для исследования напряженно-деформированного состояния оболочек с медленно изменяющимися жесткостными и геометрическими параметрами вдоль координаты, по которой используется сплайн-аппроксимация решения. Здесь этот метод применяется для оболочек с существенно неоднородной структурой. В методике расчета статического и динамического напряженно-деформированного состояния и собственных частот ребристых многослойных ортотропных цилиндрических оболочек с присоeдиненными массами на основе метода сплайн-коллокации и метода разложения решения по формах собственных колебаний, на известном примере выполнена апробация решения. На численных примерах исследована практическая сходимсть перемещений, усилий и моментов в зависимости от числа точек коллокации. Cледует отметить, что в основу решения задачи положена теория оболочек и стержней, основанная на сдвиговой модели С.П. Тимошенко. Изложенная методика исследования задач статики и динамики цилиндрических замкнутых многослойных оболочек с конструктивными и технологическими особенностями (ребра жесткости, присоединенные сосредоточенные массы) при произвольных граничных условиях реализована c помощью разработанного программного обеспечения.

Метод сплайн-колокації, на відміну від використання подвійних тригонометричних рядів для апроксимації переміщень точок серединної поверхні оболонки, дозволяє істотно розширити клас розв'язуваних прикладних задач, а в деяких випадках отримати більш точні чисельні результати. Наприклад, зменшення кроку сітки по довжині оболонки в місцях її підкріплення кільцевими ребрами або розташування зосереджених мас, призводить до зменшення порядку розв’язувальної системи алгебраїчних рівнянь при тій же точності одержуваних результатів. Можливість змінювати граничні умови на поперечних краях оболонки дозволяє оцінити їх вплив на характеристики напружено-деформованого стану. Відзначимо, що раніше метод сплайн-колокації переважно використовувався для дослідження напружено-деформованого стану оболонок з повільно змінюючимися жерсткосними і геометричними параметрами вздовж координати, по якій використовується сплайн-апроксимація рішення. Тут метод застосовується для оболонок з істотно неоднорідною структурою. У методиці розрахунку статичного і динамічного напружено-деформованого стану і власних частот ребристих багатошарових ортотропних циліндричних оболонок з приєднаними масами на основі методу сплайн-колокації і методу розкладання рішення по формах власних коливань виконана апробація рішення на відомому прикладі. На чисельних прикладах досліджена практична збіжність переміщень, зусиль і моментів в залежності від числа точок колокації. Cлід відзначити, що в основу розв’язку задачі покладена теорія оболонок і стержнів, заснована на зсувній моделі С.П. Тимошенка. Викладена вище методика дослідження задач статики і динаміки циліндричних замкнутих багатошарових оболонок з конструктивними і технологічними особливостями (ребра жорсткості, приєднані зосереджені маси) при довільних граничних умовах реалізована з допомогою розробленого програмного забезпечення.

The method of spline collocation, in contrast to the use of double trigonometric series for the approximation of the displacements of points of the middle surface of a shell, allows us to significantly expand the class of applied problems and, in some cases, to obtain more accurate numerical results. For example, by reducing the grid spacing along the length of the shell in places, where it is supported by circular edges, or by varying the location of concentrated masses, we can reduce the order of the resolving system of algebraic equations with the same accuracy of the results obtained. The ability to change the boundary conditions at the transverse edges of the shell makes it possible to evaluate their influence on the characteristics of the stressstrain state. Note that the splinecollocation method was mainly used to study the stressstrain state of shells with slowly varying stiffness and geometric parameters along the coordinate, where the spline approximation of the solution is used. Here, the method is used for shells with a substantially nonuniform structure. In the method of calculating the static and dynamic stressstrain state and natural frequencies of the ribbed multilayer orthotropic cylindrical shells with attached masses, the method based on the splinecollocation, and the method of decomposition of a solution in eigenoscillations, the solution were tested by the wellknown example. Using numerical examples, the practical convergence of displacements, forces, and moments depending on the number of collocation points has been investigated. It should be noted that the solution of the problem uses the theory of shells and rods based on the S.P. Timoshenko shift model. The described method of studying the problems of the statics and dynamics of cylindrical closed multilayer shells with structural and technological features (stiffening ribs, attached concentrated masses) under arbitrary boundary conditions is implemented using the developed software.