Про аналітичні розв'язки диференціально-операторних рівнянь

Abstract

Знайдено умови на замкнений оператор А в банаховому просторі, необхідні і достатні для існування розв'язків диференціального рівняння y'(t)=Ay(t),t∈[0,∞), в класах цілих вектор-функцій із заданими порядком росту і типом. Наведено ознаки щільності таких класів у множині всіх розв'язків. Ці ознаки дають можливість довести існування розв'язкузадачі Коші для розглядуваного рівняння в класі аналітичних вектор-функцій і обгрунтувати збіжність наближеного методу степеневих рядів, В частиннному випадку, коли A — диференціальний оператор, проблема про можливість застосування цього методу була поставлена Вейєрштрассом. Умови, за яких це можливо, були знайдені Ковалевською (відома теорема Ковалевської).

We find conditions on a closed operator A in a Banach space that are necessary and sufficient for the existence of solutions of a differential equation y′(t) = Ay(t), t ∈[0,∞),in the classes of entire vector functions with given order of growth and type. We present criteria for the denseness of classes of this sort in the set of all solutions. These criteria enable one to prove the existence of a solution of the Cauchy problem for the equation under consideration in the class of analytic vector functions and to justify the convergence of the approximate method of power series. In the special case where A is a differential operator, the problem of applicability of this method was first formulated by Weierstrass. Conditions under which this method is applicable were found by Kovalevskaya.