Некоторые неравенства для градиентов гармонических функций

Abstract

Доведено, що для функції u(x, y) гармонічної у верхній півплощині y > 0 і зображуваної інтегралом Пуассона від функції v(t) ∈ L₂ (−∞,∞). справедлива нерівність gradu(x,y)|² ≤ 1/4π≤ ∫v²(t)dt. Подібна нерівність одержана також для функції, яка гармонічна в крузі.

For a function u(x, y) harmonic in the upper half-plane y > 0 and represented by the Poisson integral of a function v(t) ∈ L₂ (−∞,∞), we prove that the inequality gradu(x,y)|² ≤ 1/4π³ ∫v²(t)dt is true. A similar inequality is obtained for a function harmonic in a disk.