Интенсивность пересечений заданного уровня однородным случайным полем

Abstract

Дано определение понятия интенсивности пересечений однородным полем заданного уровня как среднего количества попаданий точек поверхности уровня в расширяющееся пространство. Показано, что независимо от положения центра расширяющегося пространства задача отыскания интенсивности сводится к подсчету поверхностей уровня в единице объема. Сформулирована возможность отыскания количества поверхностей уровня как характеристики, зависящей от количества поверхностно порождающих точек. Найдено дифференциальное уравнение, связывающее интенсивности точек локальных максимумов и локальных минимумов с искомой интенсивностью поверхностей уровня. На гауссовом стационарном процессе проверена достоверность полученных результатов, которые полностью совпадают с выражением, впервые найденным Райсом.

Наведено визначення поняття інтенсивності перетинів однорідним полем заданого рівня як середньої кількості потрапляння точок поверхні рівня у розширному просторі. Показано, що незалежно від положення центру розширного простору задача відшукування інтенсивності зводиться до підрахунків кількості поверхонь рівня в одиниці об’єму. Сформульовано можливість відшукування кількості поверхонь рівня як характеристики, що залежить від кількості поверхнево породжувальних точок. Знайдено диференційне рівняння, яке зв’язує інтенсивності точок локальних максимумів і локальних мінімумів з шуканою інтенсивністю поверхонь рівня. На гаусівському стаціонарному процесі перевірено достовірність отриманих результатів, які повністю збігаються з виразом, уперше знайденим Райсом.

The author defines the concept of the intensity of crossings of a given level by a homogeneous field as the average number of points of level surface that hit the expanding space. It is shown that irrespective of the position of the center of expanding space, the problem of finding the intensity reduces to counting the level surfaces per unit volume. The author formulates the possibility of finding the number of level surfaces as a characteristic that depends on birth-surface points. A differential equation is found that relates the intensities of points of local maxima and local minima with the desired intensity of level surfaces. The accuracy of the results is verified for the stationary Gaussian process. The results completely coincide with the expression found by Rice for the first time.