On new symbolic key exchange protocols and cryptosystems based on a hidden tame homomorphism

Abstract

Multivariate cryptosystems are divided into public rules, for which tools of encryption are open for users and systems of the El Gamal type, for which the encryption function is not given in public, and, for its generation, the opponent has to solve a discrete logarithm problem in the affine Cremona group. Infinite families of transformations of a free module K^n over a finite commutative ring K such that the degrees of their members are not growing with iteration are called stable families of transformations. Such families are needed for practical implementations of multivariate cryptosystems of the El Gamal type. New explicit constructions of such families and families of stable groups and semigroups of transformations of free modules are given. New methods of creation of cryptosystems, which use stable transformation groups and semigroups and homomorphisms between them, are suggested. The security of these schemes is based on a complexity of the decomposition problem for an element of the affine Cremona semigroup into a product of given generators. Proposed schemes can be used for the exchange of messages in a form of elements of a free module and for a secure delivery of multivariate maps, which could be encryption tools and instruments for digital signatures.

Криптосистеми від багатьох змінних поділяються на публічні ключі, для яких засіб шифрування відкритий для всіх користувачів, та криптосистеми типу Ель Гамаля з функцією шифрування, що не надається публічно, для її генерування опонент повинен розв’язати проблему дискретного логарифма в афінній групі Кремони. Нескінченні родини перетворень вільних модулів K^n над скінченним комутативним кільцем K такі, що степені їх представників не зростають при ітерації, називають стабільними родинами перетворень. Такі родини необхідні для практичних реалізацій криптосистем типу Ель Гамаля. Наведено нові конструкції таких родин та родин стабільних напівгруп перетворень вільних модулів. Запропоновано нові методи створення криптосистем, які використовують стабільні групи та напівгрупи разом з гомоморфізмами між ними. Безпека таких схем ґрунтується на складності проблеми розкладу елемента афінної напівгрупи Кремони в добуток заданих твірних. Схеми можуть використовуватися як для обміну повідомленнями у вигляді елементів вільного модуля, так і для безпечного узгодження поліноміальних перетворень від багатьох змінних, які можуть бути знаряддям шифрування або інструментом для цифрового підпису.

Криптосистемы от многих переменных подразделяются на публичные ключи, для которых способ шифрования открыт для всех пользователей, и криптосистемы типа Эль Гамаля с функцией шифрования, не заданной публично, для ее генерации оппонент должен решить проблему дискретного логарифма в афинной группе Кремоны. Бесконечные семейства преобразований свободного модуля K^n над конечным коммутативным кольцом K такие, что степени их представителей не возрастают при итерации, называют стабильными семействами преобразований. Такие семейства необходимы для практических реализаций криптосистем типа Эль Гамаля. Приведены новые конструктивные построения таких семейств и семейств стабильных полугрупп преобразований свободных модулей. Предложены новые способы построения криптосистем, использующие стабильные группы и полугруппы вместе с гомоморфизмами между ними. Безопасность таких схем опирается на сложность проблемы разложения элемента афинной полугруппы Кремоны в произведение заданных образующих. Схемы могут использоваться как для обмена сообщениями в виде элементов свободного модуля, так и для безопасного согласования полиномиальных преобразований от многих переменных, которые могут быть средствами шифрования или инструментами цифровой подписи.