Решение задачи классификации с использованием ε-сетей

Abstract

Предложен новый метод решения задачи классификации, основанный на разделении двух множеств в пространстве Rd путем построения и разделения ε-сетей этих множеств в ранжированном пространстве относительно гиперплоскостей. Введено понятие области разделения — тех значений ε, при которых возможно разделить множества. Приведены примеры области разделения для случайных величин с разными распределениями и доказана теорема о ее сходимости. Введено понятие совокупности всех возможных ε-сетей некоторого множества и доказаны ее свойства. Доказана слабая сходимость нормированной разности эмпирической и теоретической кривых разделения к нормальному распределению, что позволяет проверять гипотезы о местонахождении теоретической кривой разделения в конкретной точке.

Запропоновано новий метод розв’язання задачі класифікації, що базується на відокремленні двох множин в просторі Rd шляхом побудови та відокремлення ε-сіток цих множин в ранжованому просторі відносно гіперплощин. Введено поняття області поділу — тих значень ε, при яких можливо відокремити множини. Наведено приклади області поділу для випадкових величин, розподілених за найбільш вживаними законами розподілу, та доведено теорему про її збіжність. Введено поняття сукупності всіх можливих ε-сіток деякої множини та доведено деякі її властивості. Доведена слабка збіжність нормованої різниці емпіричної та теоретичної кривих відокремлення до нормального розподілу, що дозволяє перевіряти гіпотези про місцезнаходження теоретичної кривої відокремлення в конкретній точці.

The new method of the solution the classification problem is proposed in the paper. The method is based on separating two sets in the space Rd by constructing and separating ε-nets of these sets in a ranked space with respect to hyperplanes. The concept of the set of possible values of ε for ε-nets of both sets is introduced in the paper. The properties of this set and the theorem of its convergence are proved. The paper contains examples of the set of possible values for the most useful distributions. The concept of the set of all possible ε-nets of the set is introduced in the paper. Weak convergence of the normalized difference of the empiric and theoretic separation curves to the normal distribution is proved. It makes possible to check the hypothesis of the place of theoretic separation curve at a specific point.