Перша основна задача теорії пружності у півпросторі з декількома паралельними круговими циліндричними порожнинами

Abstract

Під час проектування різного роду конструкцій, прогнозування міцності гірських виробок в механіці гірських порід і геотехнічній механіці зустрічаються задачі, в яких необхідно знати напружено-деформований стан півпростору з циліндричними порожнинами та враховувати взаємний вплив порожнин та межі півпростору. В статті наведено аналітико-чисельний розв’язок першої основної просторової задачі теорії пружності (на межах задані напруження) для однорідного півпростору з декількома паралельними між собою і межею півпростору кругових циліндричних порожнин. Задані напруження вважаються такими, що швидко спадають до нуля на межах порожнин по координатах z, на межі півпростору по координатах z та x на далеких відстанях від початку координат. Для розв’язання задачі використано узагальнений метод Фур’є стосовно системи рівнянь Ламе в циліндричних координатах, пов’язаних із циліндрами, та декартових координатах, пов’язаних з півпростором. Для переходу між базисними розв’язками рівняння Ламе були використані особливі формули переходу між локальними циліндричними системами координат та між декартовою і циліндричними системами координат. Нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких зведено проблему, розв’язано методом зрізання. В результаті було знайдено переміщення та напруження в пружному тілі. Як приклад наведено докладний числовий аналіз напружено-деформованого стану для двох паралельних циліндричних порожнин у півпросторі за різних значень геометричних параметрів задачі. Наведені графіки дають картину розподілу напружень в тілі у найбільш цікавих зонах, уявлення про взаємний вплив циліндричних порожнин та взаємний вплив межі півпростору і циліндричних порожнин в залежності від геометричних параметрів задачі.

При проектировании различного рода конструкций, прогнозировании прочности горных выработок в механике горных пород и геотехнической механике встречаются задачи, в которых необходимо знать напряженно-деформированное состояние полупространства с цилиндрическими полостями и учитывать взаимное влияние полостей и границы полупространства. В статье приведено аналитико-численное решение первой основной пространственной задачи теории упругости (на границах заданы напряжения) для однородного полупространства с несколькими параллельными между собой и границей полупространства круговых цилиндрических полостей. Заданные напряжения считаются быстро убывающими до нуля на границах полостей по координатам z, на границе полупространства по координатам z и x на дальних расстояниях от начала координат. Для решения задачи использован обобщенный метод Фурье относительно системы уравнений Ламе в цилиндрических координатах, связанных с цилиндрами, и декартовых координатах, связанных с полупространством. Для перехода между базисными решениями уравнения Ламе были использованы особые формулы перехода между локальными цилиндрическими системами координат и между декартовой и цилиндрическими системами координат. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, к которым сведена проблема, решены методом срезки. В результате были определены перемещения и напряжения в упругом теле. В качестве примера приведен подробный численный анализ напряженно-деформированного состояния для двух параллельных цилиндрических полостей в полупространстве при различных значениях геометрических параметров задачи. Приведенные графики дают картину распределения напряжений в теле в самых интересных зонах, представление о взаимном влиянии цилиндрических полостей и взаимное влияние границы полупространства и цилиндрических полостей в зависимости от геометрических параметров задачи.

When designing different kinds of structures and forecasting the strength of mine workings in rock and geotechnical mechanics, there occur problems in which it is necessary to know the stress-strain state of a half-space with cylindrical cavities and take into account the mutual influence of the cavities and the half-space boundaries. The article gives an analytical and numerical solution to the first main spatial problem of the theory of elasticity (stresses are specified on boundaries) for a homogeneous half-space with several circular cylindrical cavities parallel to each other and the boundary of the half-space. The specified stresses are assumed to rapidly decay to zero at great distances from the origin of coordinates, on the boundaries of the cavities at coordinates z and on the boundary of the half-space at coordinates z and x. To solve the problem, the generalized Fourier method is used in relation to a system of the Lame equations in the cylindrical coordinates associated with the cylinders, and the Cartesian coordinates related to the half-space. For transition between the basic solutions of the Lame equation, special formulas for transition between local cylindrical coordinate systems and between the Cartesian and cylindrical coordinate systems were used. Infinite systems of linear algebraic equations for which the problem is reduced is solved by the truncation method. As a result, displacements and stresses were found in an elastic body. As an example, a detailed numerical analysis of the stress-strain state for two parallel cylindrical cavities in a half-space at various values of the geometric parameters of the problem is given. The graphs given show a picture of the distribution of stresses in a body in the most interesting zones and illustrate the mutual influence of cylindrical cavities as well as the mutual influence of a half-space and cylindrical cavities, depending on the geometric parameters of the problem.