On theory of multivalent solutions for Riemann Hilbert problem

Abstract

It is proved the existence of multivalent solutions for the Riemann–Hilbert problem in the general settings of finitely connected domains bounded by mutually disjoint Jordan curves, measurable coefficients and measurable boundary data. The theorem is formulated in terms of harmonic measure and principal asymptotic values. It is also given the corresponding reinforced criterion for domains with rectifiable boundaries stated in terms of the natural parameter and nontangential limits. Furthemore, it is shown that the dimension of the spaces of these solutions is infinite.

Доказано существование многозначных решений задачи Римана–Гильберта при общих предположениях конечносвязных областей, ограниченных взаимно непересекающимися жордановыми кривыми, измеримых коэффициентах и измеримых граничных данных. Теорема сформулирована в терминах гармонической меры и главных асимптотических значений. Также приведен соответствующий усиленный критерий для областей со спрямляемыми границами, сформулированный в терминах натурального параметра длины и некасательных пределов. Кроме того, показано, что размерность пространства найденных решений бесконечна.

Доведено iснування багатозначних рiшень задачi Рiмана–Гiльберта при загальних припущеннях кiнцевозв’язних областей, обмежених взаємно неперетинаючими жордановими кривими, вимiрних коефiцiєнтах i вимiрних граничних даних. Теорема сформульована в термiнах гармонiйної мiри i головних асимптотичних значень. Також наведено вiдповiдний посилений критерiй для областей зi спрямлюваними межами, сформульований в термiнах натурального параметра довжини i недотичних границь. Крiм того, показано, що розмiрнiсть простору знайдених рiшень нескiнченна.