Некоторые задачи управления неоднородными процессами рождения и гибели

Abstract

Для неоднородных марковских процессов рождения и гибели в случае постоянного отношения c интенсивностей гибели и рождения решены три задачи управления выбором параметра c . Для задачи минимизации вероятности выхода процесса при t → ∞ из полосы при помощи метода золотого сечения найдены точки минимума в случае их наличия, зависящие от конкретных значений порога и интегральной интенсивности рождения. Для задачи управления выбором параметра c с учётом стабилизирующей функции найдено точку минимума и доказано условие её существования; рассмотрены важные частные случаи. К этой задаче примыкает задача идентификации параметров для стабилизирующей функции экспоненциального роста. Для задачи минимизации математического ожидания момента вырождения при малой вероятности превышения порога найдены условия сходимости математического ожидания, упрощены условия вероятности превышения порога, а сама задача решена в случае постоянной интенсивности рождения.

Для неоднорідних марковських процесів народження та загибелі у випадку постійного відношення c інтенсивностей загибелі та народження розв’язано три задачі керування вибором параметра c . Для задачі мінімізації ймовірності виходу процесу при t → ∞ зі смуги за допомогою методу золотого перерізу знайдено точки мінімуму у випадку їх наявності, які залежать від конкретних значень порога та інтегральної інтенсивності народження. Для задачі керування вибором параметра c з урахуванням стабілізуючої функції знайдено точку мінімуму та доведено умову її існування; розглянуто важливі окремі випадки. Разом з цією задачею природно розглянуто задачу ідентифікації параметрів для стабілізуючої функції експоненційного зростання. Для задачі мінімізації математичного сподівання моменту виродження за малої ймовірності перевищення порога знайдено умови збіжності математичного сподівання, спрощено умови ймовірності перевищення порога, а сама задача розв’язана у випадку постійної інтенсивності народження.

We consider non-homogeneous Markov birth-death processes in a case of the constant ratio c of death and birth intensities. We solve three control problems by choosing the parameter c for such processes. We solve the problem of minimizing the probability of moving out of range as t → ∞ . We use the golden section search to find the existing minima, which depend on a threshold value and an integral birth intensity value. We solve the control problem by choosing the parameter c using the stabilization function. The existence of a minimum is proved and the minimum is found; also, important selected cases are considered. The parameter identification problem for an exponential stabilization function is also solved. We solve the problem of minimizing the mean of an extinction time with a small probability of exceeding the threshold. The convergence conditions for the mean are found, the conditions of the threshold exceeding probability are simplified, the problem is solved under an assumption of a constant birth intensity.