General elliptic boundary-value problems in Hörmander—Roitberg spaces

Abstract

We study semilinear partial differential equations in the plane, the linear part of which is written in a divergence form. The main result is given as a factorization theorem. This theorem states that every weak solution of such an equation can be represented as a composition of a weak solution of the corresponding isotropic equation in a canonical domain and a quasiconformal mapping agreed with a matrix-valued measurable coefficient appearing in the divergence part of the equation. The latter makes it possible, in particular, to remove the regularity restrictions on the boundary in the study of boundary-value problems for such semilinear equations.

Вивчено напівлінійні диференціальні рівняння в частинних похідних на площині, лінійна частина яких подана в дивергентній формі. Основний результат сформульований у вигляді теореми факторизації. Ця теорема стверджує, що будь-який слабкий розв'язок такого рівняння можна подати у вигляді композиції слабкого розв’язку відповідного ізотропного рівняння в канонічній області і квазіконформного відображення, узгодженого з матричнозначним вимірюваним коефіцієнтом, який входить до дивергентної частини вихідного рівняння. Свобода у виборі канонічної області дозволяє, зокрема, зняти деякі обмеження на регулярність границі при дослідженні крайових задач для таких напівлінійних рівнянь.

Изучены полулинейные дифференциальные уравнения в частных производных на плоскости, линейная часть которых представлена в дивергентной форме. Основной результат сформулирован в виде теоремы факторизации. Эта теорема утверждает, что любое слабое решение такого уравнения представимо в виде композиции слабого решения соответствующего изотропного уравнения в канонической области и квазиконформного отображения, согласованного с матричнозначным измеримым коэффициентом, входящим в дивергентную часть исходного уравнения. Свобода в выборе канонической области позволяет, в частности, снять некоторые ограничения на регулярность границы при исследовании краевых задач для таких полулинейных уравнений.