Химические потенциалы и термодинамические характеристики идеальных бозе- и ферми-газов в области квантового вырождения

Abstract

Представлены расчеты зависимостей химических потенциалов от температуры для идеальных одноатомных газов со статистиками Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака в области температур, характерных для коллективного эффекта квантового вырождения. Вне рамок каких-либо дополнительных приближений проведены численные расчеты и построены явные зависимости химических потенциалов от температуры при фиксированной плотности числа частиц газов. Получены приближенные полиномиальные зависимости химических потенциалов от температуры, позволяющие использовать результаты в дальнейших исследованиях уже без привлечения задействованных численных методов. Удобство использования полученных представлений продемонстрировано на примерах деформации распределений для заселенности энергетических состояний при понижении температуры, а также влияния квантовой статистики (обменного взаимодействия) на уравнения состояния идеальных газов и некоторые их термодинамические характеристики. Результаты данной работы по сути объединяют в промежуточной области две противоположные предельные возможности описания равновесных состояний идеальных газов, хорошо и давно известных из университетских курсов статистической физики, тем самым составляя ценность и с педагогической точки зрения.

Наведено розрахунки залежностей хімічних потенціалів від температури для ідеальних одноатомних газів зі статистиками Бозе–Ейнштейна та Фермі–Дірака в області температур, характерних для колективного ефекту квантового виродження. Поза рамками будь-яких додаткових наближень проведено чисельні розрахунки та побудовано залежності хімічних потенціалів від температури при фіксованій густині числа частинок газів. Отримано наближені поліноміальні залежності хімічних потенціалів від температури, що дозволяють використовувати результати у наступних дослідженнях вже без залучення застосованих чисельних методів. Зручність використання отриманих залежностей продемонстровано на прикладах деформації розподілів для заселеності енергетичних станів при зниженні температури, а також впливу квантової статистики (обмінної взаємодії) на рівняння стану ідеальних газів та деякі їх термодинамічні характеристики. Результати даної роботи по суті об’єднують в проміжній області дві протилежні граничні можливості опису рівноважних станів ідеальних газів, що добре та давно відомі з університетських курсів статистичної фізики, тим самим складаючи цінність також і з педагогічної точки зору.

Calculations of chemical potentials for ideal monatomic gases with Bose-Einstein and Fermi-Dirac statistics as functions of temperature, across the temperature region that is typical for the collective quantum degeneracy effect, are presented. Numerical calculations are performed without any additional approximations, and explicit dependences of the chemical potentials on temperature are constructed at a fixed density of gas particles. Approximate polynomial dependences of chemical potentials on temperature are obtained that allow for the results to be used in further studies without re-applying the involved numerical methods. The ease of using the obtained representations is demonstrated on examples of deformation of distribution for a population of energy states at low temperatures, and on the impact of quantum statistics (exchange interaction) on the equations of state for ideal gases and some of the thermodynamic properties thereof. The results of this study essentially unify two opposite limiting cases in an intermediate region that are used to describe the equilibrium states of ideal gases, which are well known from university courses on statistical physics, thus adding value from an educational point of view.