О структуре полиномиальных инвариантов линейных циклов

Abstract

Рассмотрена задача генерации полиномиальных инвариантов итерационных циклов с оператором инициализации цикла и невырожденным линейным оператором в теле цикла. Множество таких инвариантов образует идеал кольца полиномов от переменных цикла. Приведен алгоритм вычисления базисных инвариантов для линейного оператора типа жордановой клетки, а также алгоритм вычисления базисных инвариантов диагонализируемого линейного оператора с неприводимым минимальным характеристическим полиномом. Доказана теорема о строении базиса идеала инвариантов: он состоит из базисных инвариантов жордановых клеток и базисных инвариантов диагонализируемой части рассматриваемого линейного оператора.

Розглянуто задачу генерації поліноміальних інваріантів ітераційних циклів з оператором ініціалізації циклу та невиродженим лінійним оператором у тілі циклу. Множина таких інваріантів утворює ідеал кільця поліномів від змінних циклу. Наведено алгоритм обчислення базисних інваріантів для лінійного оператора типу жорданової клітини, а також алгоритм обчислення базисних інваріантів діагоналізовного лінійного оператора з незвідним мінімальним характеристичним поліномом. Доведено теорему про структуру базису ідеалу інваріантів: він складається з базисних інваріантів жорданових клітин і базисних інваріантів діагоналізовної частини лінійного оператора

The problem of polynomial invariants generation for iterative loops with loop initial statement and nonsingular linear operator in the loop body is considered. The set of such invariants forms the ideal in polynomial ring in the loop variables. An algorithm to calculate basic invariants for a Jordanian cell linear operator and for the diagonalized linear operator with irreducible minimal characteristic polynomial are presented. The theorem about the structure of the basis of invariants ideal is proved: it consists of basic invariants of Jordanian cells and basis invariants of the diagonalized part for the linear operator under consideration.