Интегрируемость и устойчивость

Abstract

В работе изучается задача выделения устойчивых переменных для нелинейной автономной системы дифференциальных уравнений, допускающей нулевое решение, при известной функции Ляпунова со знакопостоянной производной. С помощью метода дополнительных функций функция Ляпунова преобразована к виду, позволяющему выделить устойчивые переменные и получить интеграл, а также частный интеграл в зависимости от структуры движения. Обсуждена связь этих вопросов с методом связки интегралов Четаева. Рассмотрены движения твердого тела с маховиком и гироскопа Горячева-Чаплыгина. Получены интегралы движений из построенных функций Ляпунова.

У роботі вивчається задача виділення стійких змінних для нелінійної автономної системи диференціальних рівнянь, яка допускає нульовий розв'язок, при відомій функції Ляпунова зі знакосталою похідною. За допомогою методу додаткових функцій функцію Ляпунова перетворено до вигляду, який дозволяє виділити стійкі змінні й одержати інтеграл, а також окремий інтеграл залежно від структури руху. Обговорено зв'язок цих питань із методом в'язки інтегралів Четаєва. Розглянуто рухи твердого тіла з маховиком і гіроскопа Горячева-Чаплигіна. Отримано інтеграли рухів із побудованих функцій Ляпунова.

In the paper, the problem of the selection of the stable variables is investigated for a nonlinear autonomous system of differential equations, admitting zero solution, with a known Lyapunov function having the derivative of constant sign. With the help of the additional functions method, a Lyapunov function is transformed into the form that allows to select the stable variables and to obtain an integral and also partial integral depending on the motion structure. The connection between these questions and the Chetaev integral bundles method is discussed. The motions of a rigid body with a rotor and the Goryachev–Chaplygin gyroscope are considered. The motion integrals are obtained from the Lyapunov functions constructed.