Механика 2D кристаллов: переход от атомно-решеточного описания к уравнениям теории упругости

Abstract

Рассмотрен двумерный (2D) кристалл, образованный системой одинаковых атомов с парным центрально-симметричным взаимодействием между ними. Предполагается, что в начальном состоянии равновесия атомы занимают узлы плоской трансляционно-симметричной сетки, а деформированное состояние возникает в результате их смещений в плоскости кристалла (продольные деформации) и в перпендикулярном к ней направлении (деформации изгиба). Показано, что при континуальном описании такому кристаллу соответствует бесконечно тонкая анизотропная пленка с конечной плотностью массы, которая способна к упругим продольной и изгибной деформациям. В рамках классической механики вы-ведены базовые соотношения и уравнения для атомных смещений и соответствующие им уравнения теории упругости, описывающие обе моды деформации 2D кристалла как в линейном приближении, так и с учетом ангармонизмов. Получены явные выражения, связывающие модули линейной и нелинейной упругости кристалла с потенциалом межатомного взаимодействия и геометрическими характеристиками плоской кристаллической решетки.

Розглянуто двовимірний (2D) кристал, утворений системою однакових атомів з парною центрально-симетричною взаємодією між ними. Передбачається, що у початковому стані рівноваги атоми розташовані у вузлах плоскої трансляційно-симетричної сітки, а деформований стан виникає як результат їх зміщень у площині кристала (поздовжні деформації) і у перпендикулярному до неї напрямку (деформації згину). Показано, що при континуальному описі такому кристалу відповідає нескінченно тонка анізотропна плівка з кінцевою густиною маси, яка здатна до пружних деформацій та деформацій згину. У рамках класичної механіки виведено базові співвідношення і рівняння для атомних зміщень та відповідні рівняння теорії пружності, які описують обидві моди деформацій 2D кристала як у лінійному наближенні, так і з урахуванням ангармонізмів. Отримано явні вирази, що зв’язують модулі лінійної і нелінійної пружності кристала з потенціалом міжатомної взаємодії та геометричними характеристиками плоскої кристалічної гратки.

A two-dimensional (2D) crystal formed by the sys-tem of identical atoms with a pair centrosymmetrical interaction between them is considered. It is suggested that in the initial equilibrium state the atoms occupy the sites of the plane translation-symmetrical lattice and the deformation state appears due to their dis-placement within the crystal plane (longitudinal de-formation) and in the normal-to-it-direction (flexural strain). It is shown that in the continual description to this crystal corresponds an infinitely thin anisotropic film with a finite mass density that can undergo elastic longitudinal and flexural deformations. In the context of classical mechanics are derived the base relations and equations for atomic displacements and the rele-vant equations of the theory of elasticity that describe the both modes of deformation for the 2D crystal in the linear approximation as well as with the account of anharmonicity. Explicit expressions are obtained which relate the linear and nonlinear elastic moduli of the crystal to the potential of interatomic interaction and the geometrical characteristics of the plane crystal lattice.