Асимптотическая устойчивость положения равновесия двойного маятника с присоединенной массой

Abstract

Рассмотрена задача о влиянии присоединенной массы на устойчивость нижнего положения равновесия двойного маятника. Линейное приближение не позволяет решить задачу, поскольку имеет место критический случай двух пар чисто мнимых корней, вследствие чего для исследования используется прямой метод Ляпунова. Функция Ляпунова строится согласно общей методике, предложенной А.Я. Савченко и несколько модифицированной, с учетом особенностей задачи. Показано, что добавление массы делает положение равновесия маятника асимптотически устойчивым.

Розглянуто задачу про вплив приєднаної маси на стiйкiсть нижнього стану рiвноваги подвiйного маятника. Розгляд лiнiйного наближення не дозволяє розв’язати задачу, оскiльки має мiсце критичний випадок суто уявних коренiв, внаслiдок чого для дослiдження застосовано прямий метод Ляпунова. Функцiя Ляпунова будується згiдно з методикою О.Я. Савченка, дещо модифiкованою з урахуванням особливостей задачi. Встановлено, що додання маси робить стан рiвноваги маятника асимптотично стiйким.

We consider the stability problem of the equilibrium of the double pendulum with the mass attached. The linear approximation cannot give a solution, because the critical case of purely imaginary roots holds. Therefore, Lyapunov’s direct method is applied. Lyapunov function is constructed accordingly the approach introduced by A.Ya. Savchenko, and slightly modified due to special features of the problem. It is proved, that due to the mass influence the equilibrium of the pendulum becomes asymptotically stable.