Доведення збіжності алгоритмів комбінаторної оптимізації з використанням підкласів розв’язних задач

Abstract

На прикладі задачі комівояжера з використанням підкласів розв’язних задач доведено збіжність методів, які ґрунтуються на розпізнаванні структури вхідної інформації. Показано, що збіжність послідовності розв’язків, побудованих методом структурно-алфавітного пошуку для задачі комівояжера наближається до нуля, а збіжність методу найближчого сусіда та «жадібного» алгоритму залежить від структури вхідних даних.

На примере задачи коммивояжера с использованием подклассов разрешимых задач доказана сходимость методов, основанных на распознавании структуры входной информации. Показано, что сходимость последовательности решений, построенных методом структурно-алфавитного поиска для задачи коммивояжера приближается к нулю, а сходимость метода ближайшего соседа и «жадного» алгоритма зависит от структуры входных данных.

The proof of the approximate solutions convergence sequence to a global solution of the combinatorial optimization problem, which is based on a particular algorithm, is rather complicated problem. This is due to the fact that some classes of problems are unsolvable because of their computational complexity. A lot of researches are devoted to the problem of the methods and algorithms convergence within the mathematical programming. They enter the formal level features required and sufficient conditions for their convergence. The original way to prove some convergence combinatorial optimization methods, based on recognition of the structure of input data (structure-alphabetical search method nearest neighbor method, “greedy” algorithm) is presented. For this purpose, the subclasses of the traveling salesman problems is used. A sequence of the convergence solutions that are built specifically is proved. To assess the methods accuracy, which are decided on a set of permutations, the input data of combinatorial optimization problems defines the functions of the natural argument, one of which is combinatorial. This allows to define a set of values of the objective function for basic problem and to establish some error of interpretation algorithm. An solvable case for the traveling salesman problem is shown, in which the input data requires the linear combinatorial function for which analytically the global minimum and maximum are found. Using this case proves that the convergence of a solutions sequence built by the structural alphabet search for the traveling salesman problem is close to zero. The optimal solution for subclasses coincides with the global. The speed of the described method is polynomial of computational complexity. The convergence of the nearest neighbor method and of the “greedy” algorithm depends on the structure of input data. For some, the solution structures coincides with the global, while others may be far from optimal.