Geometrical approach for description of the mixed state in multi-well potentials

Abstract

We use the so-called geometrical approach [1] in description of transition from regular motion to chaotic one in Hamiltonian systems with potential energy surface that has several local minima. Distinctive feature of such systems is coexistence of different types of dynamics (regular or chaotic) in different wells at the same energy [2]. Application of traditional criteria for transition to chaos (resonance overlap criterion, negative curvature criterion and stochastic layer destruction criterion) is inefficient in case of potentials with complex topology. Geometrical approach allows considering only configuration space but not phase space when investigating the stability. In this approach all information about chaos and regularity is contained in potential function. The aim of this work is to determine what details of geometry of potential lead to chaos in Hamiltonian systems using geometrical approach. Numerical calculations are executed for potentials that are relevant with lowest umbilical catastrophes.

Ми використовуємо так званий геометричний підхід [1] в описі переходу від регулярного руху до хаотичного в гамільтонових системах, у яких поверхня потенційної енергії має кілька локальних мінімумів. Відмітна риса таких систем – співіснування різних типів динаміки (регулярного або хаотичного) у різних потенційних ямах при тій же самій енергії [2]. Застосування традиційних критеріїв для переходу до хаосу (критерій перекриття резонансів, критерій негативної кривизни й критерій руйнування стохастичного шару) неефективно у випадку потенціалів із комплексною топологією. Геометричний підхід при дослідженні стабільності дозволяє розглядати тільки простір конфігурацій, але не фазовий простір. У цьому підході вся інформація щодо хаосу й регулярності міститься в потенційній функції. Ціль даної роботи полягає в тому, щоб, використовуючи геометричний підхід, визначити які деталі геометрії потенціалу приводять до хаосу в гамільтонових системах. Чисельні розрахунки виконані для потенціалів, які відповідають найнижчим омбілічним катастрофам.

Мы используем так называемый геометрический подход [1] в описании перехода от регулярного движения к хаотическому в гамильтоновых системах, в которых поверхность потенциальной энергии имеет несколько локальных минимумов. Отличительная черта таких систем – сосуществование различных типов динамики (регулярного или хаотического) в разных потенциальных ямах при той же самой энергии [2]. Применение традиционных критериев для перехода к хаосу (критерий перекрытия резонансов, критерий отрицательнoй кривизны и критерий разрушения стохастического слоя) неэффективно в случае потенциалов с комплексной топологией. Геометрический подход при исследовании устойчивости позволяет рассматривать только пространство конфигураций, но не фазовое пространство. В этом подходе вся информация относительно хаоса и регулярности содержится в потенциальной функции. Цель настоящей работы состоит в том, чтобы, используя геометрический подход, определить какие детали геометрии потенциала приводят к хаосу в гамильтоновых системах. Численные расчеты выполнены для потенциалов, которые соответствуют самым низким омбилическим катастрофам.