Layout problems for arc objects in convex domains

Abstract

We introduce a new methodology for solving layout problems. Our objects and containers are bounded by circular arcs and line segments. We allow continuous object translations and rotations as well as minimal allowable distances between objects. For describing non-overlapping, containment and distance constraints the phi-function technique is used. We provide a general mathematical model as nonlinear programming problem with nonsmooth functions. We propose here the automatic feasible region generator, using phi-trees. The generator allows us to form ready-to-use systems of inequalities with smooth functions in order to apply efficient nonlinear optimisation procedures. We develop an efficient solution algorithm and original solver for layout problems which uses the core representation of inequlities in a sybmol form and provides exact calculation of Jacobian and Hessian matrixes. The search for local minima of NLP-problems is performed by IPOPT algorithm. An essential part of our local optimisation scheme is LORA algorithm that simplifies description of feasible region of the problem and reduces the runtime of local optimisation. It is due to this reduction our strategy can work efficiently with collections of composed objects and search for “good” local-optimal solutions for layout problems in reasonable time.

Розглянуто отпимізаційну задачу упаковки довільних об'єктів, обмежених дугами кіл та відрізками прямих в опукіі області. Побудовано математичну модель у вигляді задачі недиференційованої оптимізації, множина реалізацій яко? покриває широкий клас наукових і прикладних задач геометричного проектування. Розроблено методологію розв'язання задач упаковки з урахуванням технологічних обмежень (мінімально допустимі відстані, зони заборони, можливість неперервних трансляцій та обертань об'єктів). Запропоновано генератор простору розв'язків та вирішувач (solver) для автоматичного розв'язання NLP-задач розглянутого класу.

Предлагается новая методология решения оптимизационных задач компоновки произвольных объектов в контейнерах, ограниченных дугами окружностей и отрезками прямых. Строится математическая модель в виде задачи нелинейного программирования. Описывается процедура генерации области допустимых решений с применением phi-деревьев, которая позволяет формировать системы неравенств с гладкими функциями. Предлагается эффективный алгоритм поиска локально оптимальных решений.Разработан оригинальный решатель для задач негладкой оптимизации, который использует символьное представление неравенств и обеспечивает точное вычисление элементов матриц Якобиана и Гессиана. Предлагаемая методология эффективна для решения задач компоновки произвольных объектов и позволяет получать «хорошие» локально оптимальные решения за приемлемое время.