Визначення дозволених частот поширення електромагнітних хвиль у 2D фотонному кристалі методом зв’язаних хвиль (МЗХ)

Abstract

В роботі показано, що методом зв’язаних хвиль (МЗХ), який використовують для аналізу дифракції електромагнітних хвиль на плоских 1D ґратках, при накладанні періодичних граничних умов можна швидко встановити, чи задана частота електромагнітної хвилі є дозволеною для поширення в 2D фотонному кристалі. Проблема зводиться до задачі вищої алгебри на власні значення та власні вектори типу A+X=ρA-X та перевірки, чи ρ за модулем рівне одиниці. Якщо |ρ|=1, то задана частота дозволена. Розмірність вектора X дорівнює подвоєному числу використаних зв’язаних хвиль (2N) при розрахунку, і визначається необхідною точністю аналізу. При N≥30 забезпечується висока точність визначення дозволених частот віток зонної структури, що визначають заборонену зону фотонного кристалу. Завдяки тому, що типові фотонні кристали мають симетричну просторову залежність діелектричної сталої, то використання симетрії в залежності від її виду дозволяє перейти до розмірності вектора X N±1 чи N без втрати точності аналізу з одночасним зменшенням часу розрахунку приблизно у вісім разів.

Показано, что методом связанных волн (МСВ), который используют для анализа дифракции электромагнитных волн на плоских 1D решетках, при наложении периодических граничных условий можно быстро определить, является ли данная частота разрешенной для распространения в 2D фотонном кристалле. Проблема сводится к задаче высшей алгебры на собственные значения и собственные векторы типа A+X=ρA-X и проверки на равенство модуля ρ единице. Если |ρ|=1, то заданная частота разрешена. Размерность вектора X равна удвоенному числу использованных связанных волн (2N) при расчете и определяется требуемой точностью анализа. При N≥30 обеспечивается высокая точность определения разрешенных частот веток зонной структуры, которые определяют запрещенную зону фотонного кристалла. Использование симметрии предоставляет возможность перейти к размерности вектора X N±1 или N без потери точности с одновременным уменьшением времени расчета примерно в восемь раз.

It is shown in work, that at imposition of a periodic boundary conditions it is possible quickly to define there is this frequency of allowed for distribution in 2D photonic crystal by the coupled waves method (CWM), which use for the analysis of diffraction of electromagnetic waves in plane 1D grating. A problem is reduced to the task of higher algebra on the eigenvalues and eigenvectors of type A+X=ρA-X and verification on equality of the module ρ to unit. If |ρ|=1, the intended frequency is allowed. The dimension of vector X is equal to the doubled number of the used coupled waves (2N) at a calculation, and is determined by the required accuracy of analysis. High accuracy of determination of the allowed frequencies of branches of band structure at N≥30, which determine the band gap of photonic crystal, is provided. The use of symmetry gives possibility to pass on to the dimension of X vector N±1 or N without the loss of accuracy with the simultaneous diminishing of time of calculation approximately in 8 times.