Good Measures on Locally Compact Cantor Sets

Abstract

We study the set M(X) of full non-atomic Borel measures μ on a non-compact locally compact Cantor set X. The set Mμ = {x is in X : for any compact open set U (x is in U) we have μ(U) = ∞} is called defective. μ is non-defective if μ(Mμ) = 0. The set M⁰(X) is subset of M(X) consists of probability and infinite non-defective measures. We classify the measures from M⁰(X) with respect to a homeomorphism. The notions of goodness and the compact open values set S(μ) are defined. A criterion when two good measures are homeomorphic is given.For a group-like set D and a locally compact zero-dimensional metric space A we find a good non-defective measure μ on X such that S(μ) = D and Mμ is homeomorphic to A. We give a criterion when a good measure on X can be extended to a good measure on the compactification of X.

Изучается множество M(X) полных неатомарных борелевских мер μ на некомпактном локально-компактном канторовском множестве X. Множество Mμ = {x є X : для любого компактно-открытого множества U (x є U) имеем μ(U) = ∞} называется дефектным. m недефектна, если μ(Mμ) = 0. Класс M⁰(X), являющийся подмножеством M(X), состоит из вероятностных и бесконечных недефектных мер. Меры из M⁰(X) классифицируются с точностью до гомеоморфизма. Введены понятия хорошей меры и множества S(μ) значений меры на компактно-открытых подмножествах. Представлен критерий гомеоморфности для двух хороших мер. Для группоподобного множества D и локально-компактного нульмерного метрического пространства A найдена хорошая мера m на X, такая что S(μ) = D и Mμ гомеоморфно A. Дан критерий, когда хорошая мера на X может быть продолжена до хорошей меры на компактификации X.