Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть III. Рассеяние волн на резонирующих неоднородностях

Abstract

Проблема обоснования корректности матричных моделей метода сшивания для задач резонансного рассеяния волн на неоднородностях в волноводах оставалась актуальной на протяжении всего времени использования этого метода. Второй нерешенной задачей является обоснование метода редукции для решения получаемых матричных уравнений. Целью настоящей работы является строгое доказательство корректности математической модели в виде операторных формул Френеля для указанного класса задач дифракции мод, построение проекционных приближений для искомых операторов рассеяния и обоснование их сходимости. Использован обобщенный метод сшивания. Для операторов рассеяния получены «обобщенные операторные формулы Френеля». Доказана универсальность построенной операторной модели в виде преобразования Кэли. Показано, что область корректности этой модели полностью определена найденными операторными свойствами обобщенной матрицы рассеяния. Аналитически доказана безусловная сходимость проекционных приближений к точному решению. Метод сшивания, широко используемый для решения скалярных задач дифракции волноводных мод, имеет матрично-операторную природу и адекватный этой природе математический аппарат, а именно теорию операторов в гильбертовом пространстве. Предложенное обобщение метода сшивания следует использовать для строго анализа микроволновых устройств.

Проблема обґрунтування матричних моделей методу зшивання для задач резонансного розсіювання хвиль на неоднорідностях у хвилеводах залишалась актуальною протягом усього часу використання цього методу. Другою невирішеною задачею являється обґрунтування методу редукції для розв’язання матричних рівнянь, які отримуються. Метою цієї роботи є суворий доказ коректності математичної моделі у вигляді операторних формул Френеля для вказаного класу задач дифракції мод, побудова проекційних наближень для шуканих операторів розсіювання та обґрунтування їх збіжності. Використано узагальнений метод зшивання. Для операторів розсіювання отримано «узагальнені операторні формули Френеля». Доведено універсальність побудованої операторної моделі у вигляді перетворення Келі. Показано, що область коректності цієї моделі повністю визначено знайденими операторними властивостями узагальненої матриці розсіювання. Аналітично доведено безумовну збіжність проекційних наближень до точного розв’язання. Метод зшивання, який використовується для розв’язання скалярних задач дифракції хвилеводних мод, має матрично-операторну природу та адекватний цій природі математичний апарат, а саме теорію операторів в гільбертовому просторі. Запропоноване узагальнення методу зшивання треба використовувати для суворого аналізу мікро-хвильових пристроїв.

The problem of correctness of matrix models related to the mode-matching technique for resonant scattering of waves by waveguide discontinuities had remained topical for the whole period of applying this technique. The next open question is the problem of validity of the truncation procedure for these matrix models. The aim of our work is to prove analytically the correct-ness of the mathematical models in the form of operator-based Fresnel formulae for the mentioned class of mode-diffraction problems, to construct projection approximations for the sought-for scattering operators and to justify their convergence. The generalized mode-matching technique has been used. The «generalized Fresnel formulae for scattering operators» have been derived. The universality of the developed operator model in the form of the Cayley transformation has been established. It has been shown that the correctness of this model is completely determined by the found operator properties of the generalized scattering matrix. The unconditional convergence of the projection approximation to the true solution has been proved analytically. The commonly used mode-matching technique for the scalar mode-diffraction problems is of matrix-operator nature and an adequate mathematical apparatus for this technique is based on the theory of operators in the Hilbert space. The proposed generalization of the mode-matching technique can be useful for rigorous analysis of microwave devices.