Структура розв’язкiв диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi на нескiнченному iнтервалi

Abstract

Описано всi розв’язки рiвняння вигляду (d/dt − A)^n(d/dt + A)^m y(t) = 0 (n,m ∈ N₀ = {0}∪N, n + m ≥ 1) на пiвосi або на всiй числовiй осi, де A — iнфiнiтезимальний генератор обмеженої аналiтичної C₀-пiвгрупи лiнiйних операторiв у банаховому просторi. Показано, що будь-який розв’язок розглянутого рiвняння на (0,∞) є аналiтичною вектор-функцiєю на цьому промiжку, а кожен його розв’язок на (−∞,∞) допускає продовження до цiлої вектор-функцiї. В обох випадках для розв’якiв встановлено аналог принципу Фрагмена–Лiндельофа.

Описаны все решения уравнения вида (d/dt − A)^n(d/dt + A)^m y(t) = 0 (n,m ∈ N₀ = {0}∪N, n + m ≥ 1) на полуоси или на всей числовой оси, где A — инфинитезимальный генератор ограниченной аналитической C₀-полугруппы линейных операторов в банаховом пространстве. Показано, что всякое решение рассмотренного уравнения на (0,∞) является аналитической вектор-функцией на этом промежутке, а каждое его решение на (−∞,∞) допускает продолжение до целой вектор-функции. В обоих случаях для решений установлен аналог принципа Фрагмена–Линделефа.

For an equation of the form (d/dt − A)^n(d/dt + A)^m y(t) = 0 (n,m ∈ N₀ = {0}∪N, n + m ≥ 1) on the semiaxis or the whole real axis, where A is the infinitesimal generator of a bounded analytic C₀-semigroup of linear operators on a Banach space, all its solutions are described. It is shown that any solution of the equation under consideration on (0,∞) is an analytic vector-valued function on this semiaxis, and every its solution on (−∞,∞) admits an extension to an entire vectorvalued function. In both cases, an analogue of the Phragm´en-Lindel¨of principle for the solutions is established.