В процессе проведенных исследований доказана теорема об оценке скорости приближения образами операторов типа Абеля–Пуассона функций, имеющих заданную мажоранту типа второго модуля непрерывности r-й производной суммами Валле–Пуссена порядка (n, 2n), в интегральной метрике Lp(D). Так как в полученной оценке параметр l — любое натуральное число, доказанная теорема — не только обобщение ранее известных в этом направлении исследований, как для операторов Пуассона (l = 1), так и операторов Вейерштрасса (l = 2), но и существенное их усиление, что значительно расширяет применение в прикладной математике решенной в работе задачи, например, для метода разрешающих функций игровых задач динамики.
Досліджено властивості операторів типу Абеля–Пуассона, які мають широкий спектр застосувань в різних галузях наукових досліджень. Особлива увага приділяється апроксимаційним та диференціальним властивостям операторів типу Абеля–Пуассона. Зокрема, знайдено оцінку швидкості наближення образами операторів типу Абеля–Пуассона функцій, що мають задану мажоранту типу другого модуля неперервності r-ї похідної сумами Валле–Пуссена порядку (n, 2n), в інтегральній метриці Lp(D). Для розгляду в подальшому диференціальних властивостей операторів типу Абеля–Пуассона наведено визначення класів функцій, які є узагальненням класів диференційовних функцій С.М. Нікольського. Оператори типу Абеля–Пуассона є одними з основних, які використовуються в дійсному і комплексному аналізі та математичній фізиці і на їх образи, що є функціями диференційовними, та часто сприймаються як розв’язки відомих крайових задач. Тому отриманий в роботі результат може бути використано для вивчення граничних властивостей операторів типу Абеля–Пуассона і примикає до аналогічних результатів Я.С. Бугрова. Крім цього, є можливість використання описаних властивостей цих операторів в теорії ігрових задач динаміки, що особливо актуально в наш час, наприклад, при знаходженні стаціонарних цілей, які зазнали аварії і знаходяться в практично недосяжних місцях, при розробці комп’ютерних систем пошуку і спостереження за рухомими об’єктами, при аналізі і моделюванні групової взаємодії між рухомими об’єктами. Такі задачі часто виникають при обслуговуванні морського і повітряного транспорту.
The properties of Abel–Poisson type operators, which have a wide range of applications in various fields of scientific research are studied. Special attention is paid to the approximation and differential properties of operators of Abel–Poisson type. In particular, an estimate was obtained for the approximation rate by the images of operators of Abel–Poisson type for functions having a given majorant of the type of the second modulus of continuity of the r-derivative Vall–Poussin sum of order (n, 2n) in the integral metric Lp(D). For further consideration of the differential properties of operators of Abel–Poisson type, the paper presents definitions of classes of functions that are a generalization of classes of differentiable functions of S.M. Nikolʼskii. Operators of the Abel–Poisson type are among the main ones used in real and complex analysis and mathematical physics, and their images, which are differentiable functions, are often viewed as solutions of known boundary value problems. Therefore, the result obtained in the paper can be used to study the boundary properties of operators of Abel–Poisson type and is adjacent to the similar results of Ya.S. Bugrov. In addition, it is possible to use the described properties of these operators in the theory of game dynamics problems, which is especially important nowadays, for example, in finding stationary targets that have crashed and are in practically inaccessible places when developing computer search systems and monitoring moving objects, in the analysis and modeling of group interaction between moving objects. Such tasks often arise in the maintenance of sea and air transport.
