Стохастическое дифференциальное уравнение в случайной среде

Abstract

В работе рассмотрены решения стохастического дифференциального уравнения Ито в случайной среде. Случайная среда формируется обобщённым телеграфным процессом. Доказано, что исходная задача равносильна системе двух стохастических дифференциальных уравнений с неслучайными коэффициентами. Первое уравнение является уравнением Ито и его решением является исходный процесс. Второе уравнение является уравнением с пуассововской компонентой и его решением является обобщенный телеграфный процесс. Приведены теоремы существования и единственности как сильных, так и слабых решений.

Solutions of the Ito stochastic differential equation in a random environment are considered. The random environment is formed by the generalized telegraph process. It is proved that the initial problem is equivalent to a system of two stochastic differential equations with nonrandom coefficients. The first equation is the Ito equation, and the initial process is its solution. The second equation is an equation with Poisson process, and its solution is a generalized telegraph process. The theorems of existence and uniqueness of strong and weak solutions are proved.