Умови існування розв'язків крайової періодичної задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого порядку. I

Abstract

На основі зображення розв'язку крайової періодичної задачі uₜₜ − uₓₓ = g(x,t), u(0,t) = u(π,t) = 0, u(x,t+ω) = u(x,t) у вигляді u(x,t) = u⁰(x,t)+ũ(x,t), де u⁰(x,t) — розв'язок відповідної однорідної задачі, а ũ(x,t) — точний розв'язок неоднорідного рівняння, такий, що ũ(x,t+ω)uₓ=ũ(x,t), одержано умови розв'язності крайової неоднорідної періодичної задачі для конкретних значень періоду ω. Показано, що у знайденій формулі розв'язку містяться відомі раніше результати.

We consider the periodic boundary-value problem uₜₜ − uₓₓ = g(x,t), u(0,t) = u(π,t) = 0, u(x,t+ω) = u(x,t). By representing a solution of this problem in the form u(x,t) = u⁰(x,t)+ũ(x,t), де u⁰(x,t), where u⁰(x,t) is a solution of the corresponding homogeneous problem and ũ(x,t) is the exact solution of the inhomogeneous equation such that ũ(x,t+ω)uₓ = ũ(x,t), we obtain conditions for the solvability of the inhomogeneous periodic boundary-value problem for certain values of the period ω. We show that the relation obtained for a solution includes known results established earlier.