Точное число эллиптических кривых в канонической форме, изоморфных кривым Эдвардса над простым полем

Abstract

Найдены необходимые и достаточные условия для параметров кривой в канонической форме с двумя точками четвертого порядка. Доказаны две леммы о квадратичных вычетах в конечном поле с использованием схемы Гаусса для квадратичных вычетов и невычетов. На их основе получены точные формулы расчета числа эллиптических кривых с ненулевыми параметрами а и b и двумя точками четвертого порядка, изоморфных кривым Эдвардса над простым полем. Доказано, что для больших полей доля таких кривых близка к 1/4.

Знайдено необхідні та достатні умови для параметрів кривої у канонічній формі з двома точками четвертого порядку. Доведено дві леми про квадратичні лишки у скінченному полі з використанням схеми Гауcса для квадратичних лишків та нелишків. На їх основі отримано точні формули обчислення кількості еліптичних кривих з ненульовими параметрами а та b і двома точками четвертого порядку, ізоморфних кривим Едвардса над простим полем. Доведено, що для великих полів частка таких кривих близька до 1/4.

The necessary and sufficient conditions for the parameters of the curve in the canonical form with two points of order 4 are found. Two lemmas are proved about the properties of quadratic residues, using the Gauss scheme for quadratic residues and non-residues. Based on this lemmas, the exact formulas are derived for calculating the number of elliptic curves with non-zero parameters a and b and two points of order 4 that are isomorphic to Edwards curves over the prime field. It is proved that for large fields the share of such curves is close to 1/4.