О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга

Abstract

Доказан аналог теоремы Лузина, что любая функция на отрезке, измеримая относительно логарифмической мкости, почти всюду совпадает с производной от некоторой непрерывной функции. На этой основе установлен аналог теоремы Геринга о разрешимости задачи Дирихле для гармонических функций в единичном круге с произвольными граничными данными, измеримыми относительно логарифмической мкости. Отсюда также следует соответствующая разрешимость задачи Дирихле для аналитических функций.

It is proved the analog of Lusin’s theorem that each function on a segment which is measurable with respect to logarithmic capacity coincides almost everywhere with the derivative of a continuous function. On this basis, it is established the analog of Gehring’s theorem on solvability of the Dirichlet problem for harmonic functions on the unit disk with arbitrary boundary data which are measurable with respect to logarithmic capacity. The latter implies also the corresponding solvability of the Dirichlet problem for analytic functions.