В работе рассматривается аналог проблемы Зальцмана для правильных треугольника и тетраэдра. Полностью разобран случай, когда функция имеет нулевой интеграл по всем правильным треугольникам (тетраэдрам), которые касаются данного внутренним образом. Получен некоторый аналог теоремы Томпсона и Шонбека для дискретного множества параметров α. С помощью доказанных результатов получен новый критерий голоморфности функций для правильного треугольника, доказан результат о полноте некоторой системы функций в Ip, доказан аналог теоремы В. К. Дзядыка, получен новый результат о гомеоморфизмах с N-свойством Лузина.
У роботі розглядається аналог проблеми Зальцмана для правильних трикутника і тетраедра. Повністю розібрано випадок, коли функція має нульовий інтеграл по всіх правильних трикутниках (тетраедрах), які дотикаються даного внутрішнім чином. Отримано деякий аналог теореми Томпсона і Шонбека для дискретної множини параметрів α. За допомогою доведених результатів отримано новий критерій голоморфності функцій для правильного трикутника, доведено результат про повноту деякої системи функцій в Ip, доведено аналог теореми В. К. Дзядика, отримано новий результат про гомеоморфізми з N-властивістю Лузіна.
We consider the analogue of Zalcman’s problem for regular triangle and tetrahedron. The case, when function has zero integral over all regular triangles (tetrahedrons), which is tangent to given one by inner way, is fully analyzed. We also obtain some analogue of theorem of Thompson and Shconbek for discrete set of parameters α. With the help of proved results the new criterion of holomorphy of functions for regular triangle is obtained, the result about completeness of some system of functions in Lp and the analogue of Dzyadyk’s theorem are proved, the new result about homeomorphisms with Lusin’s N-property is obtained.
