Внутренняя осесимметричная задача о взаимодействии тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную сжимаемую жидкость, с осциллирующей сферой

Abstract

Сформулирована задача о взаимодействии осциллирующего сферического тела с тонкой упругой цилиндрической оболочкой, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью и погруженной в безграничную идеальную сжимаемую среду с другими параметрами. Геометрический центр сферы находится на оси цилиндра. Процедура построения решения основана на возможности представления частных решений уравнений Гельмгольца для обеих сред в цилиндрических координатах с помощью частных решений в сферических координатах, и наоборот. В результате удовлетворения граничных условий на поверхности сферы и на стенке оболочки получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов Фурье-разложения потенциала скоростей жидкости по полиномам Лежандра. Определены гидродинамические характеристики жидкости, заполняющей цилиндрический объем и окружающей его, а также прогибы цилиндрической оболочки. Проведено сравнение с задачей о колебаниях сферы на оси тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью (без учета внешней среды).

Сформульовано задачу про взаємодію сферичного тіла, що осцилює, з тонкою пружною циліндричною оболонкою, яка заповнена ідеальною стисливою рідиною та занурена в безмежне ідеальне стисливе середовище з іншими параметрами. Геометричний центр сфери знаходиться на осі циліндра. Процедура побудови розв'язку спирається на можливість представлення частинних розв'язків рівнянь Гельмгольца для обох середовищ, які записані у циліндричних координатах, за допомогою частинних розв'язків у сферичних координатах, та навпаки. В результаті задоволення граничних умов на поверхнях сфери та оболонки отримано нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження коефіцієнтів Фур'є-розкладу потенціалу швидкостей рідини за поліномами Лежандра. Визначено гідродинамічні характеристики рідини, що заповнює циліндричний об'єм та оточує його, а також прогини циліндричної оболонки. Проведено порівняння з задачею про коливання сфери на осі тонкої пружної циліндричної оболонки, що заповнена стисливою рідиною (без урахування зовнішнього середовища).

The problem on interaction between an oscillating spherical body and a thin elastic cylindrical shell filled by an ideal compressible liquid and submerged into an infinite ideal compressible medium with other parameters is formulated. Geometrical center of the sphere is located on the cylinder's axis. Development of the solution is based on the possibility to represent particular solutions of the Helmholtz equations, written for both media in the cylindrical coordinates, by means of particular solutions in spherical coordinates and vice versa. After satisfying boundary conditions on the surfaces of the sphere and the shell, the infinite system of linear algebraic equations is obtained to determine the coefficients in the Fourier expansion of the liquid's velocity potential with respect to the Legendre polynomials. Hydrodynamic characteristics of liquids filling the cylindrical shell and surrounding it are determined, as well as flexural deformations of the cylindrical shell. A comparison with the sphere vibrating at the axis of a thin elastic cylindrical shell filled by the compressible liquid (not accounting to the external liquid) is made.